《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例2](1)长为2a的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为__________.
(2)已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆$(x + 1)^2 + y^2 = 4$上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________________.
(3)已知动点M到两定点$O(0,0)$，$A(3,0)$的距离比为$\frac{1}{2}$，则动点M的轨迹方程为__________.
(4)在平面直角坐标系中，如果点P的坐标$(x,y)$满足$\begin{cases}x = a + r\cos\theta,\\y = b + r\sin\theta,\end{cases}$其中$\theta$为参数，则点P的轨迹方程为__________________.

答案：
[解析]
(1)如图，设线段 $AB$ 的中点为 $M(x,y)$，点 $M$ 运动时，它到原点 $O$ 的距离为定长，即 $Rt\triangle AOB$ 的斜边上的中线长为定长.

因为 $AB = 2a$，即点 $M\in\{M|OM = a\}$，点 $M$ 的轨迹方程为 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.
答案: $x^{2}+y^{2}=a^{2}$
(2)如图，设点 $M$ 的坐标是 $(x,y)$，点 $A$ 的坐标是 $(x_{0},y_{0})$，

由于点 $B$ 的坐标是 $(4,3)$，且 $M$ 是线段 $AB$ 的中点，所以 $x=\frac{x_{0}+4}{2}$，$y=\frac{y_{0}+3}{2}$. 于是有 $x_{0}=2x - 4$，$y_{0}=2y - 3$，① 因为点 $A$ 在圆 $(x + 1)^{2}+y^{2}=4$ 上运动，所以点 $A$ 的坐标满足方程，即 $(x_{0}+1)^{2}+y_{0}^{2}=4$，② 把①代入②，得 $(2x - 4 + 1)^{2}+(2y - 3)^{2}=4$，整理，得 $(x-\frac{3}{2})^{2}+(y-\frac{3}{2})^{2}=1$.
答案: $(x-\frac{3}{2})^{2}+(y-\frac{3}{2})^{2}=1$
(3)如图，设点 $M$ 的坐标为 $(x,y)$，

根据题设有 $M\in\{M|\frac{|MO|}{|MA|}=\frac{1}{2}\}$，根据已知条件得 $\sqrt{(x - 3)^{2}+y^{2}}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. 化简，得点 $M$ 的轨迹方程为 $x^{2}+y^{2}+2x - 3 = 0$. 轨迹是圆心为 $(-1,0)$，半径为 $2$ 的圆.
答案: $x^{2}+y^{2}+2x - 3 = 0$
(4)由于点 $P$ 的坐标 $(x,y)$ 满足 $\begin{cases}x = a + r\cos\theta\\y = b + r\sin\theta\end{cases}$，其中 $\theta$ 为参数，所以 $\begin{cases}x - a = r\cos\theta\\y - b = r\sin\theta\end{cases}$，可得 $(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=r^{2}$，所以点 $P$ 的轨迹方程为 $(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$.
答案: $(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$

(2024·宜昌模拟)已知定点$M(1,0)$，$N(2,0)$，动点P满足$|PN| = \sqrt{2}|PM|$.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点$B(6,0)$，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.

答案： [解析]
(1)设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，因为 $M(1,0)$，$N(2,0)$，且 $|PN|=\sqrt{2}|PM|$，所以 $\sqrt{(x - 2)^{2}+y^{2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}$，整理得 $x^{2}+y^{2}=2$，所以动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程为 $x^{2}+y^{2}=2$.
(2)设点 $Q$ 的坐标为 $(m,n)$，点 $A$ 的坐标为 $(x_{A},y_{A})$，因为 $Q$ 是线段 $AB$ 上靠近点 $B$ 的三等分点，所以 $\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{QB}$，即 $(m - x_{A},n - y_{A})=2(6 - m,-n)$，解得 $\begin{cases}x_{A}=3m - 12\\y_{A}=3n\end{cases}$，又点 $A$ 在轨迹 $C$ 上运动，由
(1)有 $(3m - 12)^{2}+(3n)^{2}=2$，化简得 $(m - 4)^{2}+n^{2}=\frac{2}{9}$，即点 $Q$ 的轨迹方程为 $(x - 4)^{2}+y^{2}=\frac{2}{9}$.

[例3](1)（2022·北京高考）若直线$2x + y - 1 = 0$是圆$(x - a)^2 + y^2 = 1$的一条对称轴，则$a =$（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. 1
D. -1
(2)（多选题）圆上的点(2，1)关于直线$x + y = 0$的对称点仍在圆上，且圆的半径为$\sqrt{5}$，则圆的方程可能是（ ）
A. $x^2 + y^2 = 5$
B. $(x - 1)^2 + y^2 = 5$
C. $x^2 + (y + 1)^2 = 5$
D. $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5$

答案：
(1)A 因为直线是圆的对称轴，所以直线过圆心. 又因为圆心坐标为 $(a,0)$，所以由 $2a + 0 - 1 = 0$，解得 $a=\frac{1}{2}$.
(2)AD 因为圆上的点 $(2,1)$ 关于直线 $x + y = 0$ 的对称点仍在这个圆上，所以圆心在直线 $x + y = 0$ 上，因此设圆心坐标为 $(a,-a)$，则由 $(2 - a)^{2}+(1 + a)^{2}=5$，解得 $a = 0$ 或 $a = 1$. 所以所求圆的方程为 $(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=5$ 或 $x^{2}+y^{2}=5$.

（多选题）关于圆$(x - 2)^2 + y^2 = 5$，下列说法正确的是（ ）
A. 关于点(2，0)对称
B. 关于直线$y = 0$对称
C. 关于直线$x - y + 2 = 0$对称
D. 关于直线$x + 3y - 2 = 0$对称

答案： ABD 由题意知圆心的坐标为 $(2,0)$. 圆是关于圆心对称的中心对称图形，所以 A 正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线 $y = 0$ 过圆心，所以 B 正确；直线 $x - y + 2 = 0$ 不过圆心，所以 C 不正确；直线 $x + 3y - 2 = 0$ 过圆心，所以 D 正确.