《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例3]锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\sqrt{3}b\cos C = 2a\sin A-\sqrt{3}c\cos B$.
（1）求A；
（2）若$b = 2$，D为AB的中点，求CD的取值范围.

答案： [解析]
(1)因为$\sqrt{3}b\cos C = 2a\sin A-\sqrt{3}c\cos B$，由正弦定理可得$\sqrt{3}\sin B\cos C = 2\sin^{2}A-\sqrt{3}\sin C\cos B$，则$\sqrt{3}(\sin B\cos C+\sin C\cos B)=2\sin^{2}A$，即$\sqrt{3}\sin(B + C)=2\sin^{2}A$，又$\sin(B + C)=\sin A$，$\sin A＞0$，则$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因为$0 ＜ A ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$A=\frac{\pi}{3}$.
(2)$\triangle ACD$中，由余弦定理可得$CD=\sqrt{AD^{2}+AC^{2}-2AD\cdot AC\cos A}=\frac{1}{2}\sqrt{c^{2}-4c + 16}$，因为锐角三角形$ABC$中，$\cos B＞0$，$\cos C＞0$，所以$\begin{cases}a^{2}+c^{2}-4＞0\\a^{2}+4 - c^{2}＞0\end{cases}$，又$a^{2}=c^{2}+4 - 2c$，$c＞0$，所以$\begin{cases}c^{2}-c＞0\\8 - 2c＞0\end{cases}$，解得$1 ＜ c ＜ 4$，故$CD$的取值范围为$[\sqrt{3},2)$.

（2023·牡丹江模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$a + 2c = b\cos C+\sqrt{3}b\sin C$.
（1）求角B；
（2）若$b = 3$，求△ABC周长的取值范围.

答案： [解析]
(1)因为$a + 2c = b\cos C+\sqrt{3}b\sin C$，整理得，$\sin A+2\sin C=\sin B\cos C+\sqrt{3}\sin B\sin C$，$\sin(B + C)+2\sin C=\sin B\cos C+\sqrt{3}\sin B\sin C$，$\cos B\sin C+2\sin C=\sqrt{3}\sin B\sin C$，因为$\sin C\neq0$，所以$\sqrt{3}\sin B-\cos B = 2$，$\sin(B-\frac{\pi}{6})=1$，$B-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，可得，$B=\frac{2\pi}{3}$；
(2)因为$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}=\frac{3}{\sin\frac{2\pi}{3}}=2\sqrt{3}$，所以$a = 2\sqrt{3}\sin A$，$c = 2\sqrt{3}\sin C$，所以周长$=a + b + c = 2\sqrt{3}\sin A+2\sqrt{3}\sin C+3=2\sqrt{3}(\sin A+\sin(A+\frac{2\pi}{3}))+3=2\sqrt{3}(\frac{1}{2}\sin A+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A)+3=2\sqrt{3}\sin(A+\frac{\pi}{3})+3$，因为$0 ＜ A ＜ \frac{\pi}{3}$，所以$\frac{\pi}{3} ＜ A+\frac{\pi}{3} ＜ \frac{2\pi}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2} ＜ \sin(A+\frac{\pi}{3})\leq1$，所以$\triangle ABC$周长的取值范围为$(6,3 + 2\sqrt{3}]$