《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例1]（1）函数y = $\frac{\sqrt{4 - x²}}{\ln(x + 1)}$的定义域为 （ ）
A. [-2，2]
B. (-1，2]
C. (-1，0)∪(0，2]
D. (-1，1)∪(1，2]
（2）已知函数f(x) = $\frac{3x - 1}{ax² + ax - 3}$的定义域是R，则实数a的取值范围是 （ ）
A. ($\frac{1}{3}$，+∞)
B. (-12，0]
C. (-12，0)
D. (-∞，$\frac{1}{3}$]
（3）金榜原创·易错对对碰
①若函数y = f(x)的定义域为[0，2025]，则函数g(x) = $\frac{f(x + 1)}{x - 1}$的定义域为__________________.
②若函数f(x - 1)的定义域为[0，2025]，则函数g(x) = $\frac{f(x + 1)}{x - 1}$的定义域为__________________.

答案： [例1]
(1)C 由已知可得${4 - x^2≥0，x + 1＞0，ln(x + 1)≠0}，$解得 -1＜x＜0或0＜x≤2，因此函数y = √(4 - x^2)/ln(x + 1)的定义域为(-1，0)∪(0，2].
(2)B 由题意可知ax^2 + ax - 3≠0对任意实数x都成立. 当a = 0时，显然成立；当a≠0时，需Δ = a^2 + 12a＜0，解得 -12＜a＜0. 综上所述，实数a的取值范围为(-12，0].
(3)【解析】①使函数f(x + 1)有意义，则0≤x + 1≤2025，解得 -1≤x≤2024，故函数f(x + 1)的定义域为[-1，2024]. 所以函数g(x)有意义的条件是{-1≤x≤2024，x - 1≠0}，解得 -1≤x＜1或1＜x≤2024. 故函数g(x)的定义域为[-1，1)∪(1，2024].
②由函数f(x - 1)的定义域为[0，2025]，得函数y = f(x)的定义域为[-1，2024]，则{-1≤x + 1≤2024，x - 1≠0}，-2≤x≤2023且x≠1. 所以函数g(x)的定义域为[-2，1)∪(1，2023].
答案：①[-1，1)∪(1，2024] ②[-2，1)∪(1，2023]

1. 函数f(x) = ln(4x - x²) + $\frac{1}{x - 2}$的定义域为 （ ）
A. (0，4)
B. [0，2)∪(2，4]
C. (0，2)∪(2，4)
D. (-∞，0)∪(4，+∞)

答案：
1. C 使函数有意义，需满足{4x - x^2＞0，x - 2≠0}，解得0＜x＜2或2＜x＜4.

2. 已知函数f(x)的定义域为[-1，2]，则函数g(x) = f(2x) + $\sqrt{1 - 2x}$的定义域为 （ ）
A. [0，1]
B. [-1，0]
C. [-$\frac{1}{2}$，1]
D. [-$\frac{1}{2}$，0]

答案： 2. D 由题意得${-1≤2x≤2，1 - 2^x≥0}，$解得 -1/2≤x≤0.

3. 已知函数f(x) = $\sqrt{2^x - a}$的定义域为[2，+∞)，则a = ________.

答案： 3. 【解析】由题意可知，不等式$2^x - a≥0$的解集为[2，+∞)，则$2^2 - a = 0，$解得a = 4. 当a = 4时，由$2^x - 4≥0，$可得$2^x≥4 = 2^2，$解得x≥2，符合题意.
答案：4

[例2]（1）（一题多法）已知f(2x + 1) = 4x² - 6x + 5，则f(x) = ______________.
（2）已知f($\sqrt{x}$ + 1) = x + 2$\sqrt{x}$，则f(x) = __________________.
（3）f(x)满足2f(x) + f($\frac{1}{x}$) = 3x - 1，则f(x) = __________________.

答案： [例2]
(1)【解析】方法一(换元法)令2x + 1 = t(t∈R)，则x = (t - 1)/2，所以$f(t) = 4((t - 1)/2)^2 - 6·(t - 1)/2 + 5 = t^2 - 5t + 9(t∈R)，$所以$f(x) = x^2 - 5x + 9(x∈R).$方法二(配凑法)因为$f(2x + 1) = 4x^2 - 6x + 5 = (2x + 1)^2 - 10x + 4 = (2x + 1)^2 - 5(2x + 1) + 9，$所以$f(x) = x^2 - 5x + 9(x∈R).$方法三(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设$f(x) = ax^2 + bx + c(a≠0)，$则$f(2x + 1) = a(2x + 1)^2 + b(2x + 1) + c = 4ax^2 + (4a + 2b)x + a + b + c. $因为$f(2x + 1) = 4x^2 - 6x + 5，$所以{4a = 4，4a + 2b = -6，a + b + c = 5}，解得{a = 1，b = -5，c = 9}，所以$f(x) = x^2 - 5x + 9(x∈R).$答案：$x^2 - 5x + 9(x∈R)(2)【$解析】方法一：设t = √x + 1，则$x = (t - 1)^2，$t≥1，代入原式有$f(t) = (t - 1)^2 + 2(t - 1) = t^2 - 2t + 1 + 2t - 2 = t^2 - 1. $故$f(x) = x^2 - 1，$x≥1.
方法二：因为$x + 2√x = (√x)^2 + 2√x + 1 - 1 = (√x + 1)^2 - 1，$所以$f(√x + 1) = (√x + 1)^2 - 1，$√x + 1≥1，即$f(x) = x^2 - 1，$x≥1.
答案：$x^2 - 1(x≥1)(3)【$解析】(构造方程组法)已知2f(x) + f(1/x) = 3x - 1 ①，以1/x代替①中的x(x≠0)，得2f(1/x) + f(x) = 3/x - 1 ②，①×2 - ②，得3f(x) = 6x - 3/x - 1，故f(x) = 2x - 1/x - 1/3(x≠0).
答案：2x - 1/x - 1/3(x≠0)

1. 已知f($\frac{4}{x + 1}$) = 2x² - 3x，则f(2) = （ ）
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3

答案： 1. A 令4/(x + 1) = 2，则x = 1，所以f
(2) = 2 - 3 = -1.

2. 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x + 1) - 2f(x - 1) = 2x + 17，则f(x) = ________.

答案： 2. 【解析】因为f(x)是一次函数，可设f(x) = ax + b(a≠0)，所以3[a(x + 1) + b] - 2[a(x - 1) + b] = 2x + 17. 即ax + 5a + b = 2x + 17，所以{a = 2，5a + b = 17}，解得{a = 2，b = 7}. 所以f(x)的解析式是f(x) = 2x + 7.
答案：2x + 7

3. 已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x) = 2f($\frac{1}{x}$)·$\sqrt{x}$ - 1，则f(x) = ________.

答案： 3. 【解析】在f(x) = 2f(1/x)·√x - 1中，将x换成1/x，则得f(1/x) = 2f(x)·√(1/x) - 1. 由{f(x) = 2f(1/x)·√x - 1，f(1/x) = 2f(x)·√(1/x) - 1}，解得f(x) = 2/3√x + 1/3.
答案：2/3√x + 1/3

4. 设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x) + 2f($\frac{2023}{x}$) = 3x，则f(2023) = ________.

答案： 4. 【解析】因为f(x) + 2f(2023/x) = 3x，所以f(2023/x) + 2f(x) = 3×2023/x，联立得 -3f(x) = 3x - 3×2×2023/x，所以f(x) = -x + 2×2023/x，所以f
(2023) = -2023 + 2 = -2021.
答案：-2021

[例3 ](1)(2023·三明模拟)已知函数\(f(x)=\begin{cases}3^{x},x\leqslant0\\\log_{3}x,x > 0\end{cases}\)，则\(f(f( - 2))=\)______.

(2)已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^{x}-1,x\leqslant0\\x^{\frac{1}{2}},x > 0\end{cases}\)，若\(f(m)=3\)，则\(m\)的值为______. 

答案：

[例3 ]
(1)【解析】\(f(f( - 2)) = f(3^{-2})\)

\(=\log_{3}3^{-2}=-2\).

答案: -2

(2)【解析】由题意可知

\(\begin{cases}m\leqslant0\\2^{m}-1 = 3\end{cases}\)，或\(\begin{cases}m > 0\\m^{\frac{1}{2}} = 3\end{cases}\)，

解得\(m = 9\).

答案: 9