《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2. (2023·吉安模拟)如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM = 2千米，AN = 2千米.
(1)求线段MN的长度；
(2)若∠MPN = 60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值.
　　　　　　　　　　　　　

答案： [解析]
(1)在△AMN中，由余弦定理得，MN² = AM² + AN² - 2AM·ANcos∠MAN，
　即$MN² = 2² + 2² - 2×2×2×(-\frac{1}{2}) = 12，$
　可得$MN = 2\sqrt{3}，$
　所以线段MN的长度为$2\sqrt{3}$千米.
(2)设$∠PMN = α∈(0,\frac{2π}{3})，$
　因为$∠MPN=\frac{π}{3}，$
　所以$∠PNM=\frac{2π}{3}-α，$
　在△PMN中，由正弦定理得$\frac{MN}{sin∠MPN}=\frac{PM}{sin∠PNM}=\frac{PN}{sin∠PMN}，$
　因为$\frac{MN}{sin∠MPN}=\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}} = 4，$
　所以$PM = 4sin∠PNM = 4sin(\frac{2π}{3}-α)，$
　PN = 4sin∠PMN = 4sinα，
　因此$PM + PN = 4sin(\frac{2π}{3}-α)+4sinα=4(\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα)+4sinα=6sinα + 2\sqrt{3}cosα = 4\sqrt{3}sin(α+\frac{π}{6})，$
　因为$0 ＜ α ＜ \frac{2π}{3}，$所以$\frac{π}{6}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}，$
　所以当$α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}，$即$α=\frac{π}{3}$时，PM + PN取到最大值$4\sqrt{3}$千米.

(1)如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37 m，在地面上点C处(B，C，N三点共线)测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为 ( )
　　
A. 91 m
B. 74 m
C. 64 m
D. 52 m

答案： B 在Rt△ABC中，AC = 2AB = 74，
　在△MCA中，∠MCA = 105°，∠MAC = 45°，
　则∠AMC = 180° - ∠MCA - ∠MAC = 30°，
　由正弦定理得$\frac{MC}{sin∠MAC}=\frac{AC}{sin∠AMC}，$
　即$\frac{MC}{sin45°}=\frac{74}{sin30°}，$解得$MC = 74\sqrt{2}，$
　在Rt△MNC中，$MN = 74\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=74(m).$

(2)一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角分别为30°，45°，60°，其中AB = a，BC = b(0 ＜ a ＜ 3b)，则此山的高度为 ( )
　　　　　　　　
A. $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2ab(a + b)}{3b - a}}$
B. $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3ab(a + b)}{3b - a}}$
C. $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5ab(a + b)}{3b - a}}$
D. $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{6ab(a + b)}{3b - a}}$

答案：
D 如图，设点P在地面上的投影为点O，
　　　　　　
　则∠PAO = 30°，∠PBO = 45°，∠PCO = 60°，
　设山高PO = h，则$AO=\sqrt{3}h，$BO = h，$CO=\frac{\sqrt{3}}{3}h，$
　在△AOC中，cos∠ABO = -cos∠CBO，由余弦定理可得：$\frac{a^{2}+h^{2}-3h^{2}}{2ah}=-\frac{h^{2}+h^{2}-\frac{h^{2}}{3}}{2bh}，$
　整理得$h²=\frac{3ab(a + b)}{2(3b - a)}，$
　所以$h=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{6ab(a + b)}{3b - a}}.$

1. (2023·广州模拟)赤岗塔是广州市级文物保护单位，是广州市明代建筑中较具特色的古塔之一，与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔. 如图，在A点测得塔底位于A点北偏东60°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点61 m的B点测得塔底位于B点北偏西45°方向上(A，B，D在同一水平面)，则塔的高度CD约为(参考数据：$\sqrt{6}\approx2.45$) ( )
　
A. 40 m
B. 45 m
C. 50 m
D. 55 m

答案： C 由题意，BD = 61，∠DAB = 30°，∠DBA = 45°，
　所以$\frac{AD}{sin45°}=\frac{61}{sin30°}，$则$AD = 61\sqrt{2} m，$
　又∠DAC = 30°，则$tan∠DAC=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}，$
　所以$CD=\frac{1}{\sqrt{3}}AD=\frac{1}{\sqrt{3}}×61\sqrt{2}≈50(m).$

2. (2023·江门模拟)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，∠BAC = 60°，BC的距离比AC短40米. A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(1)求A，C两地间的距离；
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.
　　　　　　　　　　　　

答案： [解析]
(1)由题意，设AC = x，则BC = x - 40.
　在△ABC中，由余弦定理，得BC² = BA² + AC² - 2BA·ACcos∠BAC，
　即(x - 40)² = 10 000 + x² - 100x，解得x = 420，
　所以A，C两地间的距离为420米.
(2)在Rt△ACH中，AC = 420，∠CAH = 30°，
　所以$CH = AC·tan∠CAH = 140\sqrt{3}，$
　即该仪器的垂直弹射高度CH为$140\sqrt{3}$米.