《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

3. 空间向量有关运算
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，
（1）坐标运算：则a+b=____________；a - b=____________；λa=________________.
（2）数量积运算：a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|cos〈a，b〉.
微点拨向量a在向量b方向上的投影向量：|a|cos〈a，b〉·$\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$=$\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\cdot\boldsymbol{b}$.

答案： 答案:(a₁ + b₁,a₂ + b₂,a₃ + b₃) (a₁ - b₁,a₂ - b₂,a₃ - b₃) (λa₁,λa₂,λa₃),λ∈R

4. 空间向量有关公式
（1）空间两点间距离公式
已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|=____________________.
（2）空间两点的中点公式
设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则
$\begin{cases}x = \frac{x_1 + x_2}{2}\\y = \frac{y_1 + y_2}{2}\\z = \frac{z_1 + z_2}{2}\end{cases}$
（3）空间向量共线与垂直公式
若a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，其中b≠0，则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. a//b⇔a=λb⇔x1=λx2，y1=λy2，z1=λz2(λ∈R).
（4）空间向量模与夹角公式
若a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则|a|=$\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}$=$\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$；cos〈a，b〉=$\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$=$\frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$.

答案： 答案:$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

1.（思考辨析）（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直线的方向向量是唯一确定的. （ ）
（2）若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a//α. （ ）
（3）若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量. （ ）
（4）若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角. （ ）

答案： 提示:
(1)直线的方向向量不是唯一的,有无数多个;
(2)a⊥α;
(3)若a,b,c中有一个是0,则a,b,c共面,不能构成空间的一个基底;
(4)若〈a,b〉 = π,则a·b ＜ 0.
答案:
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×

2.（选择性必修 - P6T5·变形式）在平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点. 若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c}$，则下列向量中与$\overrightarrow{BM}$相等的向量是（ ）


A. -$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b+c
B. $\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b+c
C. -$\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{2}$b+c
D. $\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{2}$b+c

答案： 答案:A 解析:BM = BB₁ + B₁M = AA₁ + $\frac{1}{2}$(AD - AB)=c + $\frac{1}{2}$(b - a)= - $\frac{1}{2}$a + $\frac{1}{2}$b + c.

3.（选择性必修 - P5例1·变形式）若a与b不共线，且m=a + b，n=a - b，p=a，则（ ）
A. m，n，p共线
B. m与p共线
C. n与p共线
D. m，n，p共面

答案： 答案:D 解析:因为(a + b)+(a - b)=2a,即m + n = 2p,即p = $\frac{1}{2}$m + $\frac{1}{2}$n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.

4.（忘记开方导致错误）正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为__________.

答案： 【解析】|EF|² = EF²=(EC + CD + DF)²
= EC² + CD² + DF² + 2(EC·CD + EC·DF + CD·DF)
= 1² + 2² + 1² + 2(1×2×cos 120° + 0 + 2×1×cos 120°)=2,所以|EF| = √2,所以EF的长为√2.
答案:√2