《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2. (2022·上海高考)若$a＞b＞c＞d$，则下列不等式恒成立的是 ( )
A. $a + d＞b + c$
B. $a + c＞b + d$
C. $ac＞bd$
D. $ad＞bc$

答案： B 对于A，令a=2，b=1，c=-1，d=-2，满足a＞b＞c＞d，但a+d=b+c，故A错误.
对于B，因为a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，所以由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确.
对于C，令a=2，b=1，c=-1，d=-2，满足a＞b＞c＞d，但ac=bd，故C错误.
对于D，令a=2，b=1，c=-1，d=-2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误.

3. (必修第一册P43习题2.1T3(2)改形式)已知$M=(x - 3)^{2}$，$N=(x - 2)(x - 4)$，则 ( )
A. $M＜N$
B. $M＞N$
C. $M\leqslant N$
D. $M\geqslant N$

答案： B 因为$M - N=(x - 3)^{2}-(x - 2)(x - 4)=(x^{2}-6x + 9)-(x^{2}-6x + 8)=1＞0，$所以M＞N.

4. (错用不等式的性质致误)已知$1\leqslant a\leqslant4$，$-1\leqslant b\leqslant2$，则$3a - b$的取值范围是 ( )
A. $[-13,1]$
B. $[-1,8]$
C. $[-1,13]$
D. $[1,13]$

答案： D 因为1≤a≤4，-1≤b≤2，所以-2≤-b≤1，3≤3a≤12，所以1≤3a - b≤13.

1. (多选题)(2023·张家口模拟)若$a＞b$，则下列不等式中正确的有 ( )
A. $a - b＞0$
B. $2^{a}＞2^{b}$
C. $ac＞bc$
D. $a^{2}＞b^{2}$

答案： AB 对于A，因为a＞b，所以a - b＞0，故A正确.
对于B，因为a＞b，且指数函数$y = 2^{x}$在R上单调递增，所以$2^{a}＞2^{b}，$故B正确.
对于C，若c＜0，则ac＜bc，故C错误.
对于D，当a = 1，b=-2时，$a^{2}＜b^{2}，$故D错误.

2. (多选题)已知$x＞y＞z$，$x + y + z = 0$，则下列不等式不成立的是 ( )
A. $xy＞yz$
B. $xy＞xz$
C. $xz＞yz$
D. $x|y|＞|y|z$

答案： ACD 因为x＞y＞z，x + y + z = 0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定.
对于A，由题意得x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A不成立.
对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B成立.
对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C不成立.
对于D，当|y| = 0时，x|y|=|y|z，故D不成立.

3. 已知实数$a＞b＞c$，$abc\neq0$，则下列结论一定正确的是 ( )
A. $\frac{a}{b}＞\frac{a}{c}$
B. $ab＞bc$
C. $\frac{1}{a}＜\frac{1}{c}$
D. $ab + bc＞ac + b^{2}$

答案： D 由题可知，a≠0，b≠0，c≠0. 对于A，若a＞b＞c＞0，则$\frac{b}{a}$＜\frac{c}{a}，故A错误. 对于B，若a＞0＞b＞c，则ab＜bc，故B错误. 对于C，若a＞0＞b＞c，则$\frac{1}{a}＞\frac{1}{c}，$故C错误. 对于D，$ab+bc＞ac + b^{2}⇔ab - ac＞b^{2}-bc⇔a(b - c)＞b(b - c)，$因为a＞b，b - c＞0，所以a(b - c)＞b(b - c)，故$ab+bc＞ac + b^{2}，$故D正确.

4. (多选题)已知$a$，$b$，$c$满足$c ＜ a ＜ b$，且$ac＜0$，那么下列各式中一定成立的是 ( )
A. $ac(a - c)＞0$
B. $c(b - a)＜0$
C. $cb^{2}＜ab^{2}$
D. $ab＞ac$

答案： BCD 因为c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a - c＞0，b - a＞0，所以ac(a - c)＜0，c(b - a)＜0，$cb^{2}＜ab^{2}，$ab＞ac.

[例1](1)若$a＜0$，$b＜0$，则$p=\frac{b^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}$与$q = a + b$的大小关系为 ( )
A. $p＜q$
B. $p\leqslant q$
C. $p＞q$
D. $p\geqslant q$
(2)已知$c＞1$，且$x=\sqrt{c + 1}-\sqrt{c}$，$y=\sqrt{c}-\sqrt{c - 1}$，则$x$，$y$的大小关系是 ( )
A. $x＞y$
B. $x = y$
C. $x＜y$
D. $x$，$y$的关系随$c$而定
(3)若$a=\frac{\ln3}{3}$，$b=\frac{\ln2}{2}$，则$a$与$b$的大小关系是________。

答案： $(1)B p - q=\frac{b^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}-a - b=\frac{b^{2}-a^{2}}{a}+\frac{a^{2}-b^{2}}{b}=(b^{2}-a^{2})·(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})=\frac{(b^{2}-a^{2})(b - a)}{ab}=\frac{(b - a)^{2}(b + a)}{ab}，$
因为a＜b＜0，所以a + b＜0，ab＞0.
若a = b，则p - q = 0，故p = q；
若a≠b，则p - q＜0，故p＜q.
综上，p≤q.
(2)C 易知x＞0，y＞0，又$\frac{x}{y}=\frac{\sqrt{c + 1}-\sqrt{c}}{\sqrt{c}-\sqrt{c - 1}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{c + 1}+\sqrt{c}}}{\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{c - 1}}}=\frac{\sqrt{c}+\sqrt{c - 1}}{\sqrt{c + 1}+\sqrt{c}}$＜1，所以x＜y.
(3)[解析]因为a=\frac{\ln 3}{3}＞0，$b=\frac{\ln 2}{2}＞0，$所以$\frac{a}{b}=\frac{\ln 3}{3}·\frac{2}{\ln 2}=\frac{2\ln 3}{3\ln 2}=\frac{\ln 9}{\ln 8}=\log_{8}9＞1，$所以a＞b.
答案：a＞b

1. 若$a$，$b\in[0,+\infty)$，$A=\sqrt{a}+\sqrt{b}$，$B=\sqrt{a + b}$，则$A$，$B$的大小关系是 ( )
A. $A\leqslant B$
B. $A\geqslant B$
C. $A＜B$
D. $A＞B$

答案： B 由题意，得$B^{2}-A^{2}=-2\sqrt{ab}≤0，$所以$B^{2}≤A^{2}. $又A≥0，B≥0，所以A≥B.

2. $e^{\pi}\cdot\pi^{e}$与$e^{e}\cdot\pi^{\pi}$的大小关系为________。

答案： [解析$]\frac{e^{\pi}·\pi^{e}}{e^{e}·\pi^{\pi}}=\frac{e^{\pi - e}}{\pi^{\pi - e}}=(\frac{e}{\pi})^{\pi - e}，$
又0＜\frac{e}{\pi}＜1，0＜\pi - e＜1，所以$(\frac{e}{\pi})^{\pi - e}＜1，$即$\frac{e^{\pi}·\pi^{e}}{e^{e}·\pi^{\pi}}＜1，$即$e^{\pi}·\pi^{e}＜e^{e}·\pi^{\pi}.$答案：$e^{\pi}·\pi^{e}＜e^{e}·\pi^{\pi}$

[例2](1)(2023·杭州模拟)若实数$x$，$y$满足$\begin{cases}x + y\geqslant1,\\5x + 2y\geqslant2,\end{cases}$则$2x + y$的取值范围为 ( )
A. $[1,+\infty)$
B. $[3,+\infty)$
C. $[4,+\infty)$
D. $[9,+\infty)$
(2)已知$a＞b＞c$，$2a + b + c = 0$，则$\frac{c}{a}$的取值范围是________。

答案： [例2]
(1)A 设$(2x + y = m(x + y)+n(5x + 2y)$，则$\begin{cases}m + 5n = 2\\m + 2n = 1\end{cases}$，解得$m = n=\frac{1}{3}$，故$2x + y=\frac{1}{3}(x + y)+\frac{1}{3}(5x + 2y)$，由$\begin{cases}x + y\geqslant1\\5x + 2y\geqslant2\end{cases}$，得$\frac{1}{3}(x + y)\geqslant\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}(5x + 2y)\geqslant\frac{2}{3}$，所以$2x + y\geqslant1$。
(2)解析：因为$b = - 2a - c = 0$，所以$a>0$，$c<0$，$b = - 2a - c$。 因为$a>b>c$，所以$-2a - c < a$$，即$$3a>-c$$，解得$$\frac{c}{a}>-3$， 将$b = - 2a - c$代入$b > c$中，得$-2a - c > c$，即$c < - a$，得$\frac{c}{a} < - 1$，所以$-3 <\frac{c}{a} < - 1$。 答案：$(-3,-1)$