《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.(思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆的顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率都与焦点所在的坐标轴有关. （ ）
(2)椭圆的焦点一定在长轴上. （ ）
(3)椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$中的参数$\frac{b}{a}$不能刻画椭圆的扁平程度，而$\frac{c}{a}$能刻画椭圆的扁平程度. （ ）
(4)椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3} = 1$比椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{15} = 1$更扁一些. （ ）

答案： 提示:
(1)×. 椭圆的长轴长，短轴长，离心率都与焦点所在的坐标轴无关，故
(1)错误；
(2)√. 椭圆的焦点一定在长轴上，故
(2)正确；
(3)×. 椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$中的参数$\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$均能刻画椭圆的扁平程度，故
(3)错误；
(4)√. 椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{15}=1$的离心率为$\frac{1}{4}$. 所以椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$比椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{15}=1$更扁一些. 故
(4)正确.

2.(选择性必修第一册人AP112练习T4变形形式）
已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$经过点$(1,-\frac{\sqrt{3}}{2}b)$，且$C$的离心率为$\frac{1}{2}$，则$C$的方程是（ ）
A.$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3} = 1$
B.$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{6} = 1$
C.$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2} = 1$
D.$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4} = 1$

答案： A 由题可知，$\begin{cases}\frac{1}{a^{2}}+\frac{3b^{2}}{4b^{2}} = 1\\\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{1}{2}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a^{2}=4\\b^{2}=3\end{cases}$，
所以椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$.

3.(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆$C_{1}:\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a＞1)$，$C_{2}:\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的离心率分别为$e_{1},e_{2}$.若$e_{2}=\sqrt{3}e_{1}$，则$a =$（ ）
A.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6}$

答案： A 由$e_2=\sqrt{3}e_1$，得$e_2^{2}=3e_1^{2}$，即$\frac{4 - 1}{4}=3\times\frac{a^{2}-1}{a^{2}}$，解得$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

4.(椭圆的相关概念不清致误)若椭圆$x^{2}+my^{2}=1$的焦点在$y$轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则$m$的值为 ，焦点坐标为 .

答案： 【解析】设椭圆的长轴长为$2a$，短轴长为$2b$，焦距为$2c$，
由题意可得：$2a = 2\times2b$，则$a^{2}=4b^{2}$，
因为椭圆方程为$x^{2}+my^{2}=1$，即$x^{2}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{m}}=1$，
且焦点在$y$轴上，则$a^{2}=\frac{1}{m}$，$b^{2}=1$，
可得$a^{2}=\frac{1}{m}=4$，解得$m=\frac{1}{4}$，
所以$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{3}$，
即焦点坐标为$(0,\pm\sqrt{3})$.
答案：$\frac{1}{4}$ $(0,\pm\sqrt{3})$