《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例3]已知双曲线方程为$2x^{2}-y^{2}=2$，则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为（ ）
A.4x - 3y + 1 = 0
B.2x - y - 1 = 0
C.3x - 4y + 6 = 0
D.x - y + 1 = 0

答案： A 设以点$A(2,3)$为中点的双曲线的弦的端点的坐标分别为$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，
可得$2x_{1}^{2}-y_{1}^{2}=2$，$2x_{2}^{2}-y_{2}^{2}=2$，相减可得$2(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})$，且$x_{1}+x_{2}=4$，$y_{1}+y_{2}=6$.
则弦所在直线的斜率$k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{2(x_{1}+x_{2})}{y_{1}+y_{2}}=\frac{2\times4}{6}=\frac{4}{3}$.
可得弦所在的直线方程为$y - 3=\frac{4}{3}(x - 2)$，即为$4x - 3y + 1 = 0$.

1.(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是（ ）
A.(1,1)
B.(-1,2)
C.(1,3)
D.(-1,-4)

答案： D 设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，
则$AB$的中点$M(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$，可得$k_{AB}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}$，$k=\frac{\frac{y_{1}+y_{2}}{2}}{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}=\frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}$.
因为$A$，$B$在双曲线上，则$\begin{cases}x_{1}^{2}-\frac{y_{1}^{2}}{9}=1\\x_{2}^{2}-\frac{y_{2}^{2}}{9}=1\end{cases}$，
两式相减得$(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})-\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{9}=0$，
所以$k_{AB}\cdot k=\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}=9$.
对于选项A：可得$k = 1$，$k_{AB}=9$，
则$AB:y = 9x - 8$，联立方程$\begin{cases}y = 9x - 8\\x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1\end{cases}$，
消去$y$得$72x^{2}-2\times72x + 73 = 0$，
此时$\Delta=(-2\times72)^{2}-4\times72\times73=-288＜0$，
所以直线$AB$与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得$k=-2$，$k_{AB}=-\frac{9}{2}$，
则$AB:y=-\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}$，
联立得方程组$\begin{cases}y=-\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}\\x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1\end{cases}$，
消去$y$得$45x^{2}+2\times45x + 61 = 0$，
此时$\Delta=(2\times45)^{2}-4\times45\times61=-2880＜0$，
所以直线$AB$与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得$k = 3$，$k_{AB}=3$，则$AB:y = 3x$，
由双曲线方程可得$a = 1$，$b = 3$，则$AB:y = 3x$为双曲线的渐近线，所以直线$AB$与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：$k = 4$，$k_{AB}=\frac{9}{4}$，
则$AB:y=\frac{9}{4}x-\frac{7}{4}$，
联立得方程组$\begin{cases}y=\frac{9}{4}x-\frac{7}{4}\\x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1\end{cases}$，消去$y$得$63x^{2}+126x - 193 = 0$，此时$\Delta=126^{2}+4\times63\times193＞0$，故直线$AB$与双曲线有两个交点，故D正确.

2.已知焦点在x轴上的双曲线$\Gamma$经过点$M(\sqrt{6},\sqrt{2})$，$N(-2\sqrt{3},-\sqrt{6})$.
(1)求双曲线$\Gamma$的离心率e;
(2)若直线$l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1$与双曲线$\Gamma$交于A,B两点,求弦长|AB|.

答案： 【解析】
(1)设双曲线$\Gamma$的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，则$\begin{cases}\frac{(\sqrt{6})^{2}}{a^{2}}-\frac{(\sqrt{2})^{2}}{b^{2}}=1\\\frac{(-2\sqrt{3})^{2}}{a^{2}}-\frac{(-\sqrt{6})^{2}}{b^{2}}=1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}b^{2}=2\\a^{2}=3\end{cases}$，
所以$c^{2}=a^{2}+b^{2}=5$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{15}}{3}$；
(2)由
(1)得双曲线$\Gamma$的方程为$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$，
设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，由$\begin{cases}\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1\\y=\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1\end{cases}$，得$x^{2}+2\sqrt{3}x - 9 = 0$，$x_{1}+x_{2}=-2\sqrt{3}$，$x_{1}\cdot x_{2}=-9$，
$|AB|=\sqrt{(1 + k^{2})[(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}]}=\sqrt{(1+\frac{1}{3})\times48}=8$，
故弦长$|AB|$为8.

[例4](多选题)(2024·南昌模拟)已知$F_{1},F_{2}$分别是双曲线C:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点,以$F_{2}$为圆心,4为半径的圆与C的一条渐近线切于点P,过$F_{1}$的直线l与C交于A,B两个不同的点,若C的离心率$e=\frac{5}{3}$，则（ ）
A.$|PF_{1}|=2\sqrt{13}$
B.|AB|的最小值为$\frac{32}{3}$
C.若$|AF_{2}|=7$，则$|AF_{1}|=13$
D.若A,B同在C的左支上,则直线l的斜率$k\in(-\infty,-\frac{4}{3})\cup(\frac{4}{3},+\infty)$

答案：
ACD 对于A选项，设双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的一条渐近线为$y=\frac{b}{a}x$，即$bx - ay = 0$，
则$F_{2}(c,0)$到直线$bx - ay = 0$的距离为$\frac{|bc|}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=b$，
因为以$F_{2}$为圆心的圆与$l$相切于点$P$，所以$|PF_{2}|=b = 4$，
因为$e=\frac{5}{3}$，即$\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$，则$c=\frac{5}{3}a$，又$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即$a^{2}+16=\frac{25}{9}a^{2}$，所以$a = 3$，$c = 5$.

在$Rt\triangle PF_{2}O$中，$\cos\angle PF_{2}F_{1}=\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$，
在$\triangle PF_{2}F_{1}$中，$|F_{1}F_{2}|=2c = 10$，$|PF_{2}|=4$，
$|PF_{1}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|F_{1}F_{2}|\cdot|PF_{2}|\cdot\cos\angle PF_{2}F_{1}=100 + 16-2\times10\times4\times\frac{4}{5}=52$，
所以$|PF_{1}|=2\sqrt{13}$，故A正确；
对于B选项，当直线$l$的斜率为0时，$A$，$B$两点分别为双曲线的顶点，则$|AB|=2a = 6$，
又因为$6＜\frac{32}{3}$，即$|AB|$的最小值不可能为$\frac{32}{3}$，故B错误；
对于C选项，因为$|AF_{2}|=7$，又$a + c = 8$，且$|AF_{2}|＜a + c$，所以$A$在$C$的右支上，
所以$|AF_{1}|-|AF_{2}|=2a = 6$，所以$|AF_{1}|=|AF_{2}|+6=7 + 6 = 13$，故C正确；
对于D选项，当直线$l$的斜率存在时，设直线$l$的方程为$y = k(x + 5)$，设点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，
联立$\begin{cases}y = k(x + 5)\\\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\end{cases}$，可得$(16 - 9k^{2})x^{2}-90k^{2}x-225k^{2}-144 = 0$，因为直线$l$与双曲线$C$交于左支的两点，所以$\begin{cases}16 - 9k^{2}\neq0\\\Delta=8100k^{4}+4(16 - 9k^{2})(225k^{2}+144)＞0\\x_{1}+x_{2}=\frac{90k^{2}}{16 - 9k^{2}}＜0\\x_{1}x_{2}=\frac{225k^{2}+144}{9k^{2}-16}＞0\end{cases}$，
解得$k＜-\frac{4}{3}$或$k＞\frac{4}{3}$，故D正确.

(多选题)(2024·玉溪模拟)已知双曲线E:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的焦点相同,双曲线E的左右焦点分别为$F_{1},F_{2}$，过点$F_{2}$的直线与双曲线E的右支交于P,Q两点,$PF_{1}$与y轴相交于点A,$\triangle PA F_{2}$的内切圆与边$AF_{2}$相切于点B.若|AB| = 1,则下列说法错误的有（ ）
A.双曲线E的离心率为$\sqrt{2}$
B.双曲线E的方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$
C.若$PF_{1}\perp PF_{2}$，则$\triangle PA F_{2}$的内切圆面积为$\frac{3\pi}{16}$
D.过点(1,1)与双曲线E有且仅有一个交点的直线有3条

答案：
ACD 如图，设$PF_{1}$，$PF_{2}$与$\triangle PAF_{2}$的内切圆分别相切于$M$，$N$两点，

所以$|PM|=|PN|$，$|AM|=|AB| = 1$，$|F_{2}N|=|F_{2}B|$，且$|AF_{1}|=|AF_{2}|$，
因为$2a=|PF_{1}|-|PF_{2}|=|PM|+|AM|+|AB|+|F_{2}B|-|PN|-|F_{2}N|=2$，可得$a = 1$，
双曲线$E:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的焦点相同，
所以$c^{2}=b^{2}+a^{2}=9 - 5 = 4$，可得$b^{2}=3$，所以双曲线$E$的离心率为$\frac{c}{a}=2$，故A错误；
所以双曲线$E$的方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$，故B正确；
对于C，若$PF_{1}\perp PF_{2}$，设$|PF_{2}|=m$，则$|PF_{1}|=m + 2$，$|F_{1}F_{2}|=4$，
由$|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}$可得$(m + 2)^{2}+m^{2}=16$，解得$m=\sqrt{7}-1$，
可得$|PA|=|PM|+1$，$|AF_{2}|=1+|F_{2}B|=1+|F_{2}N|=1+\sqrt{7}-1-|PN|=\sqrt{7}-|PN|$，
由$|PA|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|AF_{2}|^{2}$得$(|PM| + 1)^{2}+(\sqrt{7}-1)^{2}=(\sqrt{7}-|PN|)^{2}=(\sqrt{7}-|PM|)^{2}$，
解得$|PM|=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，即内切圆的半径为$r=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，
则$\triangle PAF_{2}$的内切圆面积为$(\frac{4-\sqrt{7}}{3})^{2}\pi$，故C错误；
对于D，当过点(1，1)的直线与$x$轴垂直时，其方程为$x = 1$，与双曲线方程联立得$\begin{cases}x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1\\x = 1\end{cases}$，可得$y = 0$，即直线$x = 1$与双曲线$E$有一个交点；当过点(1，1)的直线与$x$轴不垂直时，设其方程为$y - 1 = k(x - 1)$，与双曲线方程联立得$\begin{cases}x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1\\y - 1 = k(x - 1)\end{cases}$，可得$(3 - k^{2})x^{2}+(2k^{2}-2k)x+2k - 4 - k^{2}=0$，当$k = ±\sqrt{3}$时，此时可得直线$y - 1 = k(x - 1)$与双曲线$E$有一个交点；当$3 - k^{2}\neq0$即$k\neq±\sqrt{3}$时，由$(2k^{2}-2k)^{2}-4(3 - k^{2})(2k - 4 - k^{2})=0$得$-24k + 48 = 0$，可得$k = 2$，此时直线$y - 1 = k(x - 1)$与双曲线$E$有一个交点.
综上，过点(1，1)与双曲线$E$有且仅有一个交点的直线有4条，故D错误.