《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

角度2 直线与平面平行的性质
[例2]如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，EF⊄平面ABCD，M是EF的中点。
(1)求证：AM//平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE = l，平面ABM∩平面BDE = m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论。

答案： [例2][解析]
(1)记 $AC$ 与 $BD$ 的交点为 $O$，连接 $OE$（图略）. 因为 $O$，$M$ 分别是 $AC$，$EF$ 的中点，四边形 $ACEF$ 是矩形，所以四边形 $AOEM$ 是平行四边形，所以 $AM// OE$
因为 $OE\subset$ 平面 $BDE$，$AM\not\subset$ 平面 $BDE$，
所以 $AM//$ 平面 $BDE$.
(2)$l// m$，证明如下：由
(1)知，$AM//$ 平面 $BDE$；
因为 $AM\subset$ 平面 $ADM$，平面 $ADM\cap$ 平面 $BDE = l$，
所以 $l// AM$.
因为 $AM\subset$ 平面 $ABM$，平面 $ABM\cap$ 平面 $BDE = m$，所以 $m// AM$，所以 $l// m$.

对点训练
如图，四边形ABCD为矩形，PD = AB = 2，AD = 4，点E，F分别为AD，PC的中点。设平面PDC∩平面PBE = l.证明：
(1)DF//平面PBE；
(2)DF//l.

答案：
[对点训练]
[证明]
(1)取 $PB$ 的中点 $G$，连接 $FG$，$EG$，
　　　　　　
因为点 $F$ 为 $PC$ 的中点，
所以 $FG// BC$，$FG = \frac{1}{2}BC$，
因为四边形 $ABCD$ 为矩形，所以 $BC// AD$，且 $BC = AD$，
所以 $DE// FG$，$DE = FG$，所以四边形 $DEGF$ 为平行四边形，
所以 $DF// GE$，因为 $DF\not\subset$ 平面 $PBE$，$GE\subset$ 平面 $PBE$，所以 $DF//$ 平面 $PBE$；
(2)由
(1)知 $DF//$ 平面 $PBE$，
又 $DF\subset$ 平面 $PDC$，平面 $PDC\cap$ 平面 $PBE = l$，
所以 $DF// l$.