《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

若函数$f(x)=(1 - x^2)(x^2 + ax + b)$的图象关于$x = -2$对称，则$a =$________，$b =$________.

答案： 【解析】$f(x)$最多有4个零点，显然已有2个，$x=\pm1$，又由对称性可知，另外两个零点为$-3$和$-5$，所以$x^{2}+ax + b = 0$的两根为$-3$和$-5$，所以$a = 8$，$b = 15$.
答案：8 15

[例1](1)(多选题)(2024·辽宁师大附中模拟)已知$f(x)$是定义在R上的奇函数，且在$(-\infty,0)$上单调递增，若$f(-1)=f(2)=1$，则下列不等式成立的是（ ）
A. $f(-\frac{3}{2})＞-1$ B. $f(-1)＞f(1)$
C. $f(3)＞1$ D. $f(\frac{1}{2})＞-1$
(2)(2024·宜宾模拟)若函数$f(x)=a-\frac{x}{|x|+1}$为奇函数，则关于x的不等式$f(x^{2})+f(2x - 3)＞a$的解集为__________.

答案：
(1)ABC 根据题意可得函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，由f(-1)=f
(2)=1可得f
(1)=f(-2)=-1.由f(x)在(-∞，0)上单调递增，得f(-$\frac{3}{2}$)＞f(-2)=-1，故A正确；由f(-1)=1，f
(1)=-1，得f(-1)＞f
(1)，故B正确；由函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，得f
(3)＞f
(2)=1，故C正确；由函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，得f($\frac{1}{2}$)＜f
(1)=-1，故D错误.
(2)【解析】由f(-x)=-f(x)，得a=0，
即f(x)=-$\frac{x}{|x| + 1}$=$\begin{cases}-\frac{x}{x + 1},x\geq0\\-\frac{x}{-x + 1},x＜0\end{cases}$
当x≥0时，f(x)=-1+$\frac{1}{x + 1}$在[0，+∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，
故f(x)在R上单调递减.
由f(x)为奇函数，则不等式f(x²)+f(2x - 3)＞0可化为f(x²)＞f(3 - 2x)，得x²＜3 - 2x，解得x∈(-3，1).
答案：(-3，1)

1.已知函数$f(x)=e^{|x|}$，设$a = f(\ln\frac{1}{3})$，$b = f(\lg5)$，$c = f(\log_{5}3)$，则$a,b,c$的大小关系是（ ）
A. $c ＜ b ＜ a$
B. $b ＜ c ＜ a$
C. $a ＜ c ＜ b$
D. $a ＜ b ＜ c$

答案： A 显然函数f(x)=e^{|x|}为偶函数，当x＞0时，f(x)=e^{|x|}=e^{x}单调递增，因为lg 5 = 1 - lg 2，log_{6}3 = 1 - log_{6}2，1＞log_{6}2＞lg 2＞0，所以1＞lg 5＞log_{6}3＞0，因为a = f(ln$\frac{1}{3}$)=f(-ln 3)=f(ln 3)，ln 3＞1，所以f(ln 3)＞f(lg 5)＞f(log_{6}3)，即c＞b＞a.

2.已知函数$f(x)=\frac{4|x|}{1 + |x|}$，则不等式$f(2x - 3)＜2$的解集是（ ）
A. $(1,2)$
B. $(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$
C. $(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$
D. $(-\infty,\frac{1}{2})\cup(\frac{5}{2},+\infty)$

答案： A 显然f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=$\frac{4x}{1 + x}$=$\frac{4x + 4 - 4}{1 + x}$=4-$\frac{4}{1 + x}$是增函数.
又f
(1)=2，所以f(2x - 3)＜2可化为f(2x - 3)＜f
(1)，可得|2x - 3|＜1，解得1＜x＜2.

[例2](1)已知函数$f(x)$为奇函数，且周期为4，$f(3)= - 2$，则$f(2025)=$（ ）
A. 2 B. 0 C. - 2 D. - 4
(2)(多选题)(2023·青岛质检)已知函数$f(x)$的定义域为R，且$f(2x + 1)$是偶函数，$f(x - 1)$是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A. $f(x)=f(x - 16)$ B. $f(19)=0$
C. $f(2024)=f(0)$ D. $f(2023)=f(1)$

答案：
(1)A 依题意，函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f
(3)=-2，
则有f
(2025)=f(-3 + 507×4)=f(-3)=-f
(3)=2，所以f
(2025)=2.
(2)ABC 因为f(2x + 1)是偶函数，
所以f(-2x + 1)=f(1 + 2x)，
即f(1 - x)=f(1 + x)，即函数关于x = 1对称，则f(x)=f(2 - x).
因为f(x - 1)是奇函数，
所以f(-x - 1)=-f(x - 1)，
则f(-x - 2)=-f(x)=-f(2 - x)，
即f(x - 2)=-f(2 + x)，
则f(x)=-f(x + 4)，
即f(x + 8)=-f(x + 4)=f(x)，
即函数的周期是8，
则f(x)=f(x - 16)成立，故A正确；
令x = 0，由f(-x - 1)=-f(x - 1)，
得f(-1)=-f(-1)，得f(-1)=0，f
(3)=0，则f
(19)=f
(3)=0，故B正确；
f
(2024)=f(8×253 + 0)=f
(0)成立，故C正确；
f
(2023)=f(8×253 - 1)=f(-1)，故D错误.