《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例4](1)(一题多法)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数$f(x)=(x + a)\ln(\frac{2x - 1}{2x + 1})$为偶函数，则$a =$ ( )
A. -1
B. 0
C. $\frac{1}{2}$
D. 1
(2)(2022·全国乙卷)若$f(x)=\ln|a+\frac{1}{1 - x}|+b$是奇函数，则$a =$________，$b =$________.

答案： [例4]
(1)B 解法一：由$\frac{2x - 1}{2x + 1}\gt0$，得$x\gt\frac{1}{2}$或$x\lt-\frac{1}{2}$，因为$f(x)$是偶函数，所以$f(-x)=f(x)$，得$(-x + a)\ln(\frac{-2x - 1}{-2x + 1})=(x + a)\ln(\frac{2x - 1}{2x + 1})$，即$(-x + a)\ln(\frac{2x + 1}{2x - 1})=(x + a)\ln(\frac{2x - 1}{2x + 1})$，即$(-x + a)\ln(\frac{2x - 1}{2x + 1})^{-1}=(x + a)\ln(\frac{2x - 1}{2x + 1})$，则$(x - a)\ln(\frac{2x - 1}{2x + 1})=(x + a)\ln(\frac{2x - 1}{2x + 1})$，所以$x - a=x + a$，得$-a = a$，得$a = 0$.
解法二：$f(x)$为偶函数，则有$f(-1)=f(1)$，即$(-1 + a)\ln3=(1 + a)\ln\frac{1}{3}$，解得$a = 0$.
解法三：$g(x)=\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$，$g(-x)=-g(x)$，则$g(x)$为奇函数，若$f(x)=(x + a)\cdot\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$为偶函数，则$h(x)=x + a$为奇函数，得$a = 0$.
(2)【解析】若$a = 0$，则函数$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq1\}$，不关于原点对称，不具有奇偶性，所以$a\neq0$.
由函数解析式有意义可得，$x\neq1$且$a+\frac{1}{1 - x}\neq0$，所以$x\neq1$且$x\neq1+\frac{1}{a}$.
因为函数$f(x)$为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，所以$1+\frac{1}{a}=-1$，解得$a=-\frac{1}{2}$，所以$f(x)=\ln|\frac{1 + x}{2(1 - x)}|+b$，定义域为$\{x|x\neq1且x\neq - 1\}$.
由$f(0)=0$得$\ln\frac{1}{2}+b = 0$，所以$b=\ln2$，即$f(x)=\ln|\frac{1 + x}{1 - x}|$，在定义域内满足$f(-x)=-f(x)$，符合题意.
综上，$a=-\frac{1}{2}$，$b=\ln2$.
答案：$-\frac{1}{2}$ $\ln2$
[对点训练]
1. D 解法一：因为$f(x)=\frac{xe^{x}}{e^{ax}-1}$的定义域为$\{x|x\neq0\}$，$f(x)$为偶函数，所以$f(-x)=f(x)$，所以$\frac{-xe^{-x}}{e^{-ax}-1}=\frac{xe^{x}}{e^{ax}-1}$，所以$\frac{xe^{ax - x}}{e^{ax}-1}=\frac{xe^{x}}{e^{ax}-1}$，所以$ax - x=x$，所以$a = 2$.
解法二：由$f(x)$为偶函数得$f(-1)=f(1)$，故$\frac{-e^{-1}}{e^{-a}-1}=\frac{e}{e^{a}-1}$①，又$\frac{-e^{-1}}{e^{-a}-1}=\frac{e^{-1}}{1 - e^{-a}}=\frac{e^{a - 1}}{e^{a}-1}$，代入①得$\frac{e^{a - 1}}{e^{a}-1}=\frac{e}{e^{a}-1}$，所以$e^{a - 1}=e$，从而$a - 1 = 1$，故$a = 2$，经检验，满足$f(x)$为偶函数.
2.【解析】因为$f(x - 2)$为奇函数，所以$f(x - 2)$的图象的对称中心为$(0,0)$.
又因为$f(x)$的图象可由$f(x - 2)$的图象向左平移2个单位长度得到，所以$f(x)$的图象关于点$(-2,0)$中心对称.因为$f(x)$在$[-2,+\infty)$上单调递减，所以$f(x)$在$(-\infty,-2]$上也单调递减，所以$f(3 - x)\gt0=f(-2)$，即$3 - x\lt - 2$，解得$x\gt5$，所以解集为$(5,+\infty)$.
答案：$(5,+\infty)$

对点训练
1. (一题多法)(2023·全国乙卷)已知$f(x)=\frac{xe^x}{e^{ax}-1}$是偶函数，则$a =$ ( )
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

答案： 核心考点.分类突破
考点二
[对点训练]
1. D 解法一：因为$f(x)=\frac{xe^{x}}{e^{ax}-1}$的定义域为$\{x|x\neq0\}$，$f(x)$为偶函数，所以$f(-x)=f(x)$，所以$\frac{-xe^{-x}}{e^{-ax}-1}=\frac{xe^{x}}{e^{ax}-1}$，所以$\frac{xe^{ax - x}}{e^{ax}-1}=\frac{xe^{x}}{e^{ax}-1}$，所以$ax - x=x$，所以$a = 2$.
解法二：由$f(x)$为偶函数得$f(-1)=f(1)$，故$\frac{-e^{-1}}{e^{-a}-1}=\frac{e}{e^{a}-1}$①，又$\frac{-e^{-1}}{e^{-a}-1}=\frac{e^{-1}}{1 - e^{-a}}=\frac{e^{a - 1}}{e^{a}-1}$，代入①得$\frac{e^{a - 1}}{e^{a}-1}=\frac{e}{e^{a}-1}$，所以$e^{a - 1}=e$，从而$a - 1 = 1$，故$a = 2$，经检验，满足$f(x)$为偶函数.

2. 若函数$f(x - 2)$为奇函数，$f(-2)=0$，$f(x)$在区间$[-2,+\infty)$上单调递减，则$f(3 - x)＞0$的解集为________.

答案： 核心考点.分类突破
考点二
[对点训练]
2.【解析】因为$f(x - 2)$为奇函数，所以$f(x - 2)$的图象的对称中心为$(0,0)$.
又因为$f(x)$的图象可由$f(x - 2)$的图象向左平移2个单位长度得到，所以$f(x)$的图象关于点$(-2,0)$中心对称.因为$f(x)$在$[-2,+\infty)$上单调递减，所以$f(x)$在$(-\infty,-2]$上也单调递减，所以$f(3 - x)\gt0=f(-2)$，即$3 - x\lt - 2$，解得$x\gt5$，所以解集为$(5,+\infty)$.
答案：$(5,+\infty)$

考点三 函数周期性及应用
[例5](1)(2023·长沙模拟)定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x + 1)=f(x)-2$，则下列是周期函数的是 ( )
A. $y = f(x)-x$
B. $y = f(x)+x$
C. $y = f(x)-2x$
D. $y = f(x)+2x$
(2)函数$f(x)$满足$f(x - 2)=f(x + 2)$，当$x\in(0,2)$时，$f(x)=x^2$，则$f(2025)=$________.
(3)已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的函数，并且$f(x + 3)=-\frac{1}{f(x)}$，当$1＜x\leq3$时，$f(x)=\cos\frac{\pi x}{3}$，则$f(2024)=$________.

答案： [例5]
(1)D 依题意，定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x + 1)=f(x)-2$，所以$f(x + 1)+2(x + 1)=f(x)+2x$，所以$y = f(x)+2x$是周期为1的周期函数.
(2)【解析】由$f(x - 2)=f(x + 2)$知$f(x)$的周期为4，故$f(2025)=f(506\times4 + 1)=f(1)=1$.
答案：1
(3)【解析】由已知可得$f(x + 6)=f((x + 3)+3)=-\frac{1}{f(x + 3)}=-\frac{1}{-\frac{1}{f(x)}}=f(x)$，故函数$f(x)$的周期为6，所以$f(2024)=f(6\times337+2)=f(2)$.
又$f(2)=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$，所以$f(2024)=-\frac{1}{2}$.
答案：$-\frac{1}{2}$

对点训练
1. (2023·石家庄模拟)函数$f(x)$满足$f(x)f(x + 2)=13$，且$f(1)=2$，则$f(2023)=$________.

答案： 1.【解析】因为$f(x)f(x + 2)=13$，所以$f(x)$，$f(x + 2)$均不为0，所以$f(x + 2)=\frac{13}{f(x)}$，所以$f(x + 4)=\frac{13}{f(x + 2)}=\frac{13}{\frac{13}{f(x)}}=f(x)$，所以$f(x)$的周期为4，所以$f(2023)=f(3)=\frac{13}{f(1)}=\frac{13}{2}$.
答案：$\frac{13}{2}$

2. 设$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上以2为周期的偶函数，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\log_2(x + 1)$，则函数$f(x)$在$[1,2]$上的解析式是________.

答案： 2.【解析】令$x\in[-1,0]$，则$-x\in[0,1]$，结合题意可得$f(x)=f(-x)=\log_{2}(-x + 1)$，令$x\in[1,2]$，则$x - 2\in[-1,0]$，故$f(x)=f(x - 2)=\log_{2}[-(x - 2)+1]=\log_{2}(3 - x)$，故函数$f(x)$在$[1,2]$上的解析式是$f(x)=\log_{2}(3 - x)$.
答案：$f(x)=\log_{2}(3 - x)$

[例6](1)(多选题)已知函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，则下列结论成立的是 ( )
A. $f(x + 1)$为偶函数
B. $f(1 + x)=f(1 - x)$
C. $f(1 + x)+f(1 - x)=0$
D. $f(1)=0$
(2)(2023·海口模拟)已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，函数$g(x)=|x - 2|\cdot f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，若$f(-1)=-1$，则$g(3)=$ ( )
A. 5
B. 1
C. -1
D. -5
(3)已知函数$y = f(x)-2$为奇函数，$g(x)=\frac{2x + 1}{x}$，且$f(x)$与$g(x)$图象的交点分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_6,y_6)$，则$y_1 + y_2+\cdots + y_6=$________.

答案： [例6]
(1)AB 由于$y = f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，则$f(1 + x)=f(1 - x)$，所以$f(x + 1)$为偶函数，故A，B选项正确，C选项错误；如$f(x)=(x - 1)^{2}+1$，函数$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，但$f(1)=1\neq0$，故D选项错误.
(2)B 因为$g(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，则$g(x + 2)=|x|f(x + 2)$是偶函数，$g(2 - x)=|-x|f(2 - x)=|x|f(2 - x)$，所以$|x|f(2 - x)=|x|f(2 + x)$，对任意的$x\in\mathbf{R}$恒成立，所以$f(2 - x)=f(2 + x)$.
因为$f(-1)=-1$且$f(x)$为奇函数，所以$f(3)=f(2 + 1)=f(2 - 1)=-f(-1)=1$，因此$g(3)=|3 - 2|f(3)=1$.
(3)【解析】因为函数$y = f(x)-2$为奇函数，所以函数$y = f(x)$的图象关于点$(0,2)$对称，又$g(x)=\frac{2x}{x - 1}=\frac{x}{x - 1}+2$，其图象也关于$(0,2)$对称，所以两函数图象交点关于$(0,2)$对称，则$y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{6}=3\times4 = 12$.
答案：12