《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB = 60°。 E是边BC上一点，线段DE交AC于点F。
(1)若△CDE的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求DE的长；
(2)若$\sqrt{7}$CF = 4DF，求sin∠DFC。
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： [对点训练]
[解析]
(1)由已知，∠BCD = ∠DAB = 60°。
因为△CDE的面积S = $\frac{1}{2}CD·CE\sin\angle BCD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$\frac{1}{2}\times2CE\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得CE = 1。
在△CDE中，由余弦定理，
得DE = $\sqrt{CD^{2}+CE^{2}-2CD·CE\cos\angle BCD}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2×2×1×\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$。
(2)连接BD，由已知得∠ACD = 30°，∠BDC = 60°，
设∠CDE = θ，则0°＜θ＜60°。
在△CDF中，由正弦定理，得$\frac{CF}{\sin\theta}=\frac{DF}{\sin\angle ACD}$，
又因为$\sqrt{7}CF = 4DF$，所以sin θ = $\frac{CF}{2DF}=\frac{2}{\sqrt{7}}$，
所以cos θ = $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
所以sin∠DFC = sin(30° + θ) = $\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{14}$。

[例6]在①cos C + (cos A - $\sqrt{3}$sin A)cos B = 0，②cos 2B - 3cos(A + C)=1，③bcos C + $\frac{\sqrt{3}}{3}$csin B = a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答。
问题：在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，若a + c = 1，________，求角B的大小和b的最小值。

答案： [例6][解析]选择条件①：
由cos C + (cos A - $\sqrt{3}\sin A$)cos B = 0，
可得 - cos(A + B) + cos A cos B - $\sqrt{3}\sin A cos B = 0$，
即 - cos A cos B + sin A sin B + cos A cos B - $\sqrt{3}\sin A cos B = 0$，
即sin A sin B - $\sqrt{3}\sin A cos B = 0$，
因为sin A≠0，所以sin B - $\sqrt{3}\cos B = 0$，
所以tan B = $\sqrt{3}$，
因为B∈(0，π)，所以B = $\frac{\pi}{3}$。
由余弦定理得b² = a² + c² - 2ac cos B = a² + c² - ac = (a + c)² - 3ac = 1 - 3ac，
因为ac≤($\frac{a + c}{2}$)² = $\frac{1}{4}$，当且仅当a = c = $\frac{1}{2}$时等号成立，所以b² = 1 - 3ac≥1 - $\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，
所以b≥$\frac{1}{2}$，即b的最小值为$\frac{1}{2}$。
选择条件②：cos 2B - 3cos(A + C) = 1，
可得2cos²B - 1 + 3cos B = 1，
即2cos²B + 3cos B - 2 = 0，
解得cos B = $\frac{1}{2}$或cos B = -2(舍)，
因为B∈(0，π)，所以B = $\frac{\pi}{3}$。
下同①。
选择条件③：bcos C + $\frac{\sqrt{3}}{3}$c sin B = a，
由正弦定理可得sin Bcos C + $\frac{\sqrt{3}}{3}$sin C sin B = sin A = sin(B + C) = sin Bcos C + cos Bsin C，
即$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin C sin B = cos Bsin C，
因为sin C≠0，
所以$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin B = cos B，即tan B = $\sqrt{3}$，
因为B∈(0，π)，所以B = $\frac{\pi}{3}$。
下同①。