《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. 对数的概念
一般地，如果$a^{x}=N(a ＞ 0$，且$a\neq1)$，那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作__________________,其中____叫做对数的底数，____叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数，记为________.
以e为底的对数叫做自然对数，记为________.

答案： $x = \log_{a}N$ $ \lg N$ $ \ln N$

2. 对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：$\log_{a}1 = $____，$\log_{a}a = $____，$a^{\log_{a}N}=$____$(a ＞ 0$，且$a\neq1$，$N ＞ 0)$.
(2)对数的运算性质
如果$a ＞ 0$，且$a\neq1$，$M ＞ 0$，$N ＞ 0$，那么：
①$\log_{a}(MN) = $____________________；
②$\log_{a}\frac{M}{N} = $__________________；
③$\log_{a}M^{n} = $______________$(n\in\mathbf{R})$.
(3)换底公式：$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}(a ＞ 0$，且$a\neq1$，$b ＞ 0$，$c ＞ 0$，且$c\neq1)$.
微点拨 (1)换底公式的变形
①$\log_{a}b\cdot\log_{b}a = 1$，即$\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}(a,b$均大于0且不等于1).
②$\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}\log_{a}b(a,b$均大于0且不等于1，$m\neq0$，$n\in\mathbf{R})$.
③$\log_{N}M=\frac{\log_{a}M}{\log_{a}N}=\frac{\log_{b}M}{\log_{b}N}(a,b,N$均大于0且不等于1，$M ＞ 0)$.
(2)换底公式的推广
$\log_{a}b\cdot\log_{b}c\cdot\log_{c}d=\log_{a}d(a,b,c$均大于0且不等于1，$d ＞ 0)$.

答案：
(1)$0$ $1$ $N$
(2)①$\log_{a}M+\log_{a}N$ ②$\log_{a}M - \log_{a}N$ ③$n\log_{a}M$

3. 对数函数的图象与性质

答案： (0,+00)　(1,0)　y＞0　y＜0y＜0　y＞0增函数　减函数

4. 反函数
指数函数$y = a^{x}(a ＞ 0$且$a\neq1)$与对数函数$y = \log_{a}x(a ＞ 0$且$a\neq1)$互为反函数，它们的图象关于直线__________对称.

答案： $y = x$