《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.（思考辨析）（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）抛物线关于顶点对称. （ ）
（2）抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心. （ ）
（3）抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同. （ ）
（4）抛物线$x^{2}=4y$，$y^{2}=4x$的$x$，$y$的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同. （ ）

答案： 提示:
(1)×.抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形;
(2)√.抛物线只有一个焦点，一条对称轴,无对称中心;
(3)√.所有抛物线的离心率为1,所以抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同;
(4)√.抛物线$x^{2}=4y$，$y^{2}=4x$的$x$，$y$的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,都为2,离心率也相同.

2.（弄错焦点位置）抛物线$x^{2}=2py(p＞0)$上纵坐标为2的点到焦点的距离为5，则该抛物线的方程为（ ）
A. $x^{2}=12y$
B. $x^{2}=10y$
C. $x^{2}=8y$
D. $x^{2}=6y$

答案： A　因为抛物线$x^{2}=2py(p＞0)$上纵坐标为2 的点到焦点的距离为5,则根据抛物线的定义可得$2+\frac{p}{2}=5$，解得$p =6$，所以抛物线的方程为$x^{2}=12y$

3.（人A选择性必修第一册P138习题3.3T1变条件）抛物线$x=\frac{1}{4a^{2}}y^{2}$的焦点坐标为（ ）
A. $(\frac{1}{16a},0)$
B. $(a,0)$
C. $(0,\frac{1}{16a})$
D. $(0,a)$

答案： B　抛物线$x=\frac{1}{4a}y^{2}$可化为$y^{2}=4ax$，它的焦点坐标是$(a,0)$。

4.（2023·全国乙卷）已知点$A(1,\sqrt{5})$在抛物线$C$：$y^{2}=2px$上，则$A$到$C$的准线的距离为________.

答案： [解析]由题意可得$(\sqrt{5})^{2}=2p×1$，则$2p=5$，抛物线的方程为$y^{2}=5x$，准线方程为$x=-\frac{5}{4}$，点$A$到$C$的准线的距离为$1-(-\frac{5}{4})=\frac{9}{4}$。
答案:$\frac{9}{4}$

[例1]（1）（一题多法）（2022·全国乙卷）设F为抛物线$C:y^{2}=4x$的焦点，点A在C上，点$B(3,0)$，若$|AF|=|BF|$，则$|AB|=$（ ）
A. 2
B. $2\sqrt{2}$
C. 3
D. $3\sqrt{2}$

答案： B　方法一:由题意可知$F(1,0)$，准线方程为$x=−1$，设$A(\frac{y_{0}^{2}}{4},y_{0})$，由抛物线的定义可知$\vert AF\vert=\frac{y_{0}^{2}}{4}+1$，又$\vert BF\vert=3−1=2$，由$\vert AF\vert=\vert BF\vert$，可得$\frac{y_{0}^{2}}{4}+1=2$，解得$y_{0}=\pm2$，所以$A(1,2)$或$A(1,−2)$，不妨取$A(1,2)$，故$\vert AB\vert=\sqrt{(1−3)^{2}+(2−0)^{2}}=2\sqrt{2}$。
方法二:由题意可知$F(1,0)$，$\vert BF\vert=2$，所以$\vert AF\vert=2$，抛物线通径为4，所以$\vert AF\vert=2$为通径的一半，所以$AF⊥x$轴，所以$\vert AB\vert=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$。

（2）设圆C与圆$x^{2}+(y - 3)^{2}=1$外切，与直线$y = 0$相切，则圆心C的轨迹为（ ）
A. 抛物线
B. 双曲线
C. 椭圆
D. 圆

答案： A　由题意知，圆$C$的圆心到点$(0,3)$的距离比到直线$y=0$的距离大1，即圆$C$的圆心到点$(0,3)$的距离与到直线$y=−1$的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线。

（3）（2024·沈阳模拟）已知P为抛物线$y^{2}=4x$上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为$(3,2)$，则$|PA|+|PF|$的最小值为（ ）
A. 4
B. 3
C. $2\sqrt{2}$
D. $\sqrt{13}$

答案：
A　由抛物线$y^{2}=4x$知$p=2$，则$F(1,0)$，准线$l$方程为$x=−1$。如图所示，点$A$在抛物线内，过点$P$作抛物线准线$l$的垂线段，垂足为点$P'$，过点$A$作$AH⊥l$于点$H$。由抛物线的定义得$\vert PF\vert=\vert PP'\vert$，

所以$\vert PA\vert+\vert PF\vert=\vert PA\vert+\vert PP'\vert\geqslant\vert AH\vert$，当且仅当点$P$是线段$AH$与抛物线的交点(即$A$，$P$，$H$三点共线)时取等号，故$\vert PA\vert+\vert PF\vert$的最小值为$\vert AH\vert=3+\frac{p}{2}=4$。

对点训练
1.（2024·青岛模拟）设抛物线$C:x^{2}=2py$的焦点为$F$，$M(x,4)$在C上，$|MF|=5$，则C的方程为（ ）
A. $x^{2}=4y$
B. $x^{2}=-4y$
C. $x^{2}=-2y$
D. $x^{2}=2y$

答案： A　抛物线$x^{2}=2py$的开口向上，由于$M(x,4)$在$C$上，且$\vert MF\vert=5$，根据抛物线的定义可知$4+\frac{p}{2}=5$，$p=2$，所以抛物线$C$的方程为$x^{2}=4y$。

2.（2024·北京模拟）已知抛物线$C:y^{2}=8x$的焦点为$F$，点$M$在C上. 若$M$到直线$x = - 1$的距离为3，则$|MF|=$（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案：
A　如图所示:

根据题意可得抛物线的准线方程为$x=−2$，若$M$到直线$x=−1$的距离为$MM_{2}=3$，则$M$到抛物线的准线$x=−2$的距离为$MM_{1}=4$，利用抛物线定义可知$MF=MM_{1}=4$。

3. （2023·岳阳模拟）已知抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}$的焦点为$F$，$P$为抛物线上一动点，点$Q(1,1)$，当$\triangle PQF$的周长最小时，点$P$的坐标为__________.

答案：
[解析]如图，设$l:y=−1$是抛物线的准线，过$P$作$PH⊥l$于$H$，作$QN⊥l$于$N$，

则$\vert PF\vert=\vert PH\vert$，$F(0,1)$，$\vert FQ\vert=1$，$\vert PF\vert+\vert PQ\vert=\vert PQ\vert+\vert PH\vert$，易知当$Q$，$P$，$H$三点共线时，$\vert PQ\vert+\vert PH\vert$的值最小，且最小值为$1+1=2$，所以$\triangle PQF$的周长最小值为3，此时$x_{P}=1$，$y_{P}=\frac{1}{4}$，即$P(1,\frac{1}{4})$。
答案:$(1,\frac{1}{4})$

[例2]（1）已知点F为抛物线$y^{2}=2px(p＞0)$的焦点，点$P$在抛物线上且横坐标为8，$O$为坐标原点，若$\triangle OFP$的面积为$2\sqrt{2}$，则该抛物线的准线方程为（ ）
A. $x=-\frac{1}{2}$
B. $x=-1$
C. $x=-2$
D. $x=-4$

答案： B　抛物线$y^{2}=2px(p＞0)$的焦点$F(\frac{p}{2},0)$，由$y^{2}=16p$，可得$y=\pm4\sqrt{p}$，不妨令$P(8,4\sqrt{p})$，则$S_{\triangle OFP}=\frac{1}{2}\times\frac{p}{2}\times4\sqrt{p}=p\sqrt{p}=2\sqrt{2}$，解得$p=2$，则抛物线方程为$y^{2}=4x$，其准线方程为$x=−1$。