《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
在三棱柱ABC - A1B1C1中，若点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D//平面AB1D1，试求$\frac{AD}{DC}$的值。

答案：
[对点训练]
[解析]连接 $A_{1}B$ 交 $AB_{1}$ 于 $O$，连接 $OD_{1}$，
　　　　　　
由平面 $BC_{1}D//$ 平面 $AB_{1}D_{1}$，且平面 $A_{1}BC_{1}\cap$ 平面 $BC_{1}D = BC_{1}$，平面 $A_{1}BC_{1}\cap$ 平面 $AB_{1}D_{1}=D_{1}O$，
所以 $BC_{1}// D_{1}O$，同理可得 $AD_{1}// DC_{1}$，
所以 $\frac{A_{1}D_{1}}{D_{1}C_{1}}=\frac{A_{1}O}{OB}=1$，即 $D_{1}$ 为线段 $A_{1}C_{1}$ 的中点，所以 $D$ 为线段 $AC$ 的中点，即 $\frac{AD}{DC}=1$.

考点三 空间平行关系的综合问题
[例5]在底面是菱形的四棱锥P - ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED = 2∶1，平面PAB∩平面PCD = l.
(1)证明：l//CD；
(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论。

答案：
[例5][解析]
(1)因为四边形 $ABCD$ 为菱形，所以 $AB// CD$，又 $AB\not\subset$ 平面 $PCD$，$CD\subset$ 平面 $PCD$，
所以 $AB//$ 平面 $PCD$，又 $AB\subset$ 平面 $PAB$，平面 $PAB\cap$ 平面 $PCD = l$，
所以 $AB// l$，因为 $AB// CD$，所以 $l// CD$.
(2)当 $F$ 是棱 $PC$ 的中点时，$BF//$ 平面 $AEC$. 证明如下，如图，取 $PE$ 的中点 $M$，连接 $FM$，
　　　　　　
由于 $M$ 为 $PE$ 的中点，$F$ 为 $PC$ 的中点，
所以 $FM// CE$，
由 $M$ 为 $PE$ 的中点，得 $EM=\frac{1}{2}PE = ED$，知 $E$ 是 $MD$ 的中点，
连接 $BM$，$BD$，设 $BD\cap AC = O$，
因为四边形 $ABCD$ 是菱形，则 $O$ 为 $BD$ 的中点，
由于 $E$ 是 $MD$ 的中点，$O$ 是 $BD$ 的中点，
所以 $BM// OE$，
由 $FM// CE$，$BM// OE$ 知，
平面 $BFM//$ 平面 $AEC$，
又 $BF\subset$ 平面 $BFM$，
所以 $BF//$ 平面 $AEC$.

对点训练
如图，在四棱锥P - ABCD中，△PAB是等边三角形，BC⊥AB，BC = CD = 2$\sqrt{3}$，AB = AD = 2.
(1)若PC = 4，求三棱锥P - ABC的体积；
(2)若PB = 3BE，则在线段BC上是否存在一点F，使平面AEF//平面PCD？若存在，求线段BF的长；若不存在，请说明理由。

答案：
[对点训练]
[解析]
(1)因为 $\triangle PAB$ 是等边三角形，$AB = 2$，
所以 $PB = 2$. 又因为 $PC = 4$，$BC = 2\sqrt{3}$，
所以 $PC^{2}=PB^{2}+BC^{2}$，所以 $BC\perp PB$.
又 $BC\perp AB$，$AB$，$PB\subset$ 平面 $PAB$，$AB\cap PB = B$，
所以 $BC\perp$ 平面 $PAB$.
$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\times2\times2\times\sin60^{\circ}=\sqrt{3}$，
所以三棱锥 $P - ABC$ 的体积
$V=\frac{1}{3}S_{\triangle PAB}\cdot BC=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times2\sqrt{3}=2$.
(2)在线段 $BC$ 上存在一点 $F$，使平面 $AEF//$ 平面 $PCD$. 此时 $BF=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 理由如下:
如图，作 $EF// PC$，交 $BC$ 于 $F$，连接 $AF$.
　　　　　　
因为 $PB = 3BE$，所以 $E$ 是 $PB$ 的三等分点，可得 $BF=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. 因为 $AB = AD = 2$，$BC = CD = 2\sqrt{3}$，$AC = AC$，
所以 $\triangle ABC\cong\triangle ADC$，因为 $BC\perp AB$，所以 $\angle ABC = 90^{\circ}$，因为 $\tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以 $\angle ACB=\angle ACD = 30^{\circ}$，所以 $\angle BCD = 60^{\circ}$，
因为 $\tan\angle AFB=\frac{AB}{BF}=\frac{2}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$，
所以 $\angle AFB = 60^{\circ}$，所以 $AF// CD$，
因为 $AF\not\subset$ 平面 $PCD$，$CD\subset$ 平面 $PCD$，
所以 $AF//$ 平面 $PCD$.
又 $EF// PC$，$EF\not\subset$ 平面 $PCD$，$PC\subset$ 平面 $PCD$，所以 $EF//$ 平面 $PCD$.
因为 $AF\cap EF = F$，$AF\subset$ 平面 $AEF$，$EF\subset$ 平面 $AEF$，
所以平面 $AEF//$ 平面 $PCD$.
所以在线段 $BC$ 上存在一点 $F$，使平面 $AEF//$ 平面 $PCD$. 此时 $BF=\frac{2\sqrt{3}}{3}$