《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

(2023·大理模拟)已知实数a，b，c满足ln a / eᵃ = ln b / b = - ln c / c＜0，则a，b，c的大小关系为 （ ）
A. b＜a＜c
B. c＜b＜a
C. a＜b＜c
D. c＜a＜b

答案： C 由题意知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＞ 0，由$lna/e^a = lnb/b = -lnc/c $＜ 0，得0 ＜ a ＜ 1，0 ＜ b ＜ 1，c ＞ 1，设f(x) = lnx/x(x ＞ 0)，则f'(x) = (1 - lnx)/x²，当0 ＜ x ＜ e时，f'(x) ＞ 0，f(x)单调递增，因为$e^x ≥ x + 1，$当且仅当x = 0时取等号，故$e^a ＞ a(0 $＜ a ＜ 1)，又lna ＜ 0，所以lna/e^a ＞ lna/a，故lnb/b ＞ lna/a，所以f(b) ＞ f(a)，则b ＞ a，即有0 ＜ a ＜ b ＜ 1 ＜ c，故a ＜ b ＜ c.

(1)(2020·全国Ⅰ卷)若2ᵃ + log₂a = 4ᵇ + 2log₄b，则 （ ）
A. a＞2b
B. a＜2b
C. a＞b²
D. a＜b²

答案： B 令$f(x) = 2^x + log₂x，$因为$y = 2^x$在(0，+∞)上单调递增，y = log₂x在(0，+∞)上单调递增，所以$f(x) = 2^x + log₂x$在(0，+∞)上单调递增. 又$2^a + log₂a = 4^b + 2log₄b = 2²b + log₂b ＜ 2²b + log₂2b，$所以f(a) ＜ f(2b)，所以a ＜ 2b.

(2)已知a = 2(2 - ln 2) / e²，b = ln 2 / 2，c = 1 / e，则a，b，c的大小关系为 （ ）
A. a＜b＜c
B. b＜a＜c
C. a＜c＜b
D. b＜c＜a

答案： $B a = (2 - ln2)/e² = ln(e²/2)/(e²/2)，$$c = 1/e = lne/e，$令$f(x) = lnx/x，$所以$a = f(e²/2)，$$b = f(2)，$$c = f(e)，$$f'(x) = (1 - lnx)/x²，$所以当$x ∈ (0，$$e)$时，$f'(x) ＞ 0，$当$x ∈ (e，$$+∞)$时，$f'(x) ＜ 0，$所以$f(x)$在$(0，$$e)$上单调递增，在$(e，$$+∞)$上单调递减，所以$f(x)max = f(e) = lne/e = c，$所以$a ＜ c，$$b ＜ c，$又$b = ln2/2 = 2ln2/4 = ln4/4 = f(4)，$因为$4 ＞ e²/2 ＞ e，$所以$f(4) ＜ f(e²/2)，$所以$b ＜ a，$所以$b ＜ a ＜ c.$　　

(2023·潍坊模拟)已知a = 2022²⁰²⁴，b = 2023²⁰²³，c = 2024²⁰²²，则a，b，c的大小关系为 （ ）
A. b＞c＞a
B. b＞a＞c
C. a＞c＞b
D. a＞b＞c

答案： $D $因为$lna/lnb = 2024ln2022/2023ln2023 = (ln2022/2023)/(ln2023/2024)，$构造函数$f(x) = lnx/(x + 1)(x ≥ e²)，$$f'(x) = ((x + 1) - xlnx)/(x(x + 1)²)，$令$g(x) = (x + 1) - xlnx，$则$g'(x) = -lnx ＜ 0，$所以$g(x)$在$[e²，$$+∞)$上单调递减，所以$g(x) ≤ g(e²) = 1 - e² ＜ 0，$故$f'(x) ＜ 0，$所以$f(x)$在$[e²，$$+∞)$上单调递减，所以$f(2022) ＞ f(2023) ＞ 0 ⇒ lna/lnb = (ln2022/2023)/(ln2023/2024) = f(2022)/f(2023) ＞ 1 ⇒ lna ＞ lnb ⇒ a ＞ b. $因为$lnb/lnc = 2023ln2023/2022ln2024 = (ln2023/2022)/(ln2024/2023)，$构造函数$h(x) = lnx/(x - 1)(x ≥ e²)，$$h'(x) = ((x - 1) - xlnx)/(x(x - 1)²)，$令$t(x) = (x - 1) - xlnx，$则$t'(x) = -lnx ＜ 0，$所以$t(x)$在$[e²，$$+∞)$上单调递减，所以$t(x) ≤ t(e²) = -1 - e² ＜ 0，$故$h'(x) ＜ 0，$所以$h(x)$在$[e²，$$+∞)$上单调递减，所以$h(2023) ＞ h(2024) ＞ 0 ⇒ lnb/lnc = (ln2023/2022)/(ln2024/2023) = h(2023)/h(2024) ＞ 1 ⇒ lnb ＞ lnc ⇒ b ＞ c，$故$a ＞ b ＞ c.$　　

1. 利用描点法作函数图象的方法步骤
(1) 确定函数的__________。
(2) 化简函数的__________。
(3) 讨论函数的______，即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)。
(4) 描点连线，画出函数的图象。

答案：
(1)定义域　
(2)解析式　
(3)性质

2. 利用图象变换法作函数的图象
(1) 平移变换

(2) 伸缩变换
①$y = f(x)\xrightarrow{a＞1,横坐标缩短为原来的\frac{1}{a},纵坐标不变\\0 ＜ a ＜ 1,横坐标伸长为原来的\frac{1}{a}倍,纵坐标不变}y =$__________。
②$y = f(x)\xrightarrow{a＞1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变\\0 ＜ a ＜ 1,纵坐标缩短为原来的a,横坐标不变}y =$__________。
(3) 对称变换
①$y = f(x)\xrightarrow{关于x轴对称}y =$__________。
②$y = f(x)\xrightarrow{关于y轴对称}y =$__________。
③$y = f(x)\xrightarrow{关于原点对称}y =$__________。
④$y = a^{x}(a＞0且a\neq1)\xrightarrow{关于y = x对称}y = \log_{a}x(a＞0且a\neq1)$。
(4) 翻折变换
①$y = f(x)\xrightarrow{保留x轴上方图象\\将x轴下方图象翻折上去}y =$__________。
②$y = f(x)\xrightarrow{保留y轴右边图象,并作其\\关于y轴对称的图象}y =$__________。

答案：
(1)$f(x) + k$ $f(x + h)$ $f(x - h)$ $f(x)-k$
(2)①$f(ax)$ ②$af(x)$
(3)①$-f(x)$ ②$f(-x)$ ③$-f(-x)$
(4)①$|f(x)|$ ②$f(|x|)$