《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2.(必修一P144T2·变形式)函数f(x)=log₂x + x - 2的零点所在的区间为 (　　　)
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)

答案： 2. B 函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则$f(x)=0$在$(0,+\infty)$上只有一个根，且$f(1)= - 1,f(2)=1$，则$f(1)f(2)＜0$，故$f(x)$的零点所在的区间为$(1,2)$.

3.(2022·北京高考)函数f(x)= $\begin{cases}x² + x - 2,x\leqslant0\\-1 + \ln x,x＞0\end{cases}$的零点个数为 (　　　)
A.3
B.2
C.7
D.0

答案： 3. B 由$\begin{cases}x\leqslant0,\\x^{2}+x - 2 = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x＞0,\\-1+\ln x = 0\end{cases}$，解得$x = - 2$或$x = e$，故$f(x)$有2个零点.

4.(忽视区间端点值)函数f(x)=kx + 1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________

答案： 4.【解析】依题意函数$f(x)=kx + 1$在$[1,2]$上有零点，所以$k\neq0$，函数$f(x)$在定义域上是单调函数，所以$f(1)\cdot f(2)\leqslant0$，即$(k + 1)(2k + 1)\leqslant0$，解得$-1\leqslant k\leqslant-\frac{1}{2}$.
答案：$[-1,-\frac{1}{2}]$

考点一 函数零点所在区间的判定
1.函数$f(x)=e^x + 2x - 6$的零点所在的区间是 (　　　)
A.(3,4)
B.(2,3)
C.(1,2)
D.(0,1)

答案： 1. C 函数$f(x)=e^{x}+2x - 6$是R上的连续增函数，因为$f(1)=e - 4＜0,f(2)=e^{2}-2＞0$，可得$f(1)f(2)＜0$，所以函数$f(x)$的零点所在的区间是$(1,2)$.

2.方程ln x = 4 - 2x的根所在的区间是 (　　　)
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)

答案： 2. B 令$f(x)=\ln x + 2x - 4$，显然$f(x)=\ln x + 2x - 4$在$(0,+\infty)$上单调递增，又因为$f(1)=2 - 4 = - 2＜0,f(2)=\ln 2 + 4 - 4=\ln 2＞0$，由零点存在定理可知$f(x)=\ln x + 2x - 4$的零点所在的区间为$(1,2)$，所以$\ln x = 4 - 2x$的根所在的区间为$(1,2)$.

3.函数f(x)=2^x - $\frac{2}{x}$ - a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 (　　　)
A.(1,3)
B.(1,2)
C.(0,3)
D.(0,2)

答案： 3. C 因为函数$f(x)=2^{x}-\frac{2}{x}-a$在区间$(1,2)$上单调递增，又函数$f(x)=2^{x}-\frac{2}{x}-a$的一个零点在区间$(1,2)$内，则有$f(1)\cdot f(2)＜0$，所以$(-a)(4 - 1 - a)＜0$，即$a(a - 3)＜0$，所以$0＜a＜3$.

4.(2023·太原模拟)利用二分法求方程log₃x = 3 - x的近似解，可以取的一个区间是 (　　　)
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)

答案： 4. C 设$f(x)=\log_{3}x - 3 + x$，易知$f(x)$是$(0,+\infty)$上的连续增函数，当$x\rightarrow0^{+}$时，$f(x)\rightarrow-\infty$，$f(1)= - 2$，又$f(2)=\log_{3}2 - 1＜0$，$f(3)=\log_{3}3 - 3 + 3 = 1＞0$，故$f(2)f(3)＜0$，故方程$\log_{3}x = 3 - x$在区间$(2,3)$上有解，即利用二分法求方程$\log_{3}x = 3 - x$的近似解，可以取的一个区间是$(2,3)$.

5.用二分法求函数$f(x)=3^x - x - 4$的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得方程$3^x - x - 4 = 0$的一个近似解为________(精确度为0.01).

答案： 5.【解析】注意到$f(1.5562)\approx - 0.029$和$f(1.5625)\approx0.003$，显然$f(1.5562)f(1.5625)＜0$，又$|1.5562 - 1.5625| = 0.0063＜0.01$，所以近似解可取1.56.
答案：1.56

考点二 函数零点个数的判定
[例1](1)(一题多法)函数$f(x)=2^x + x³ - 2$在区间(0,1)内的零点个数是 (　　　)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案：
[例1]
(1)B 方法一：因为$f(0)f(1)=(-1)\times1 = - 1＜0$，且函数在定义域上单调递增且连续，所以函数$f(x)$在区间$(0,1)$内有且只有1个零点.
方法二：设$y_{1}=2^{x},y_{2}=2 - x^{3}$，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示， 在区间$(0,1)$内，两图象的交点个数即为$f(x)$的零点个数.故函数$f(x)$在区间$(0,1)$内有且只有1个零点.

(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)= $\begin{cases}x² - 2x,x\leqslant0\\1 + \frac{1}{x},x＞0\end{cases}$，则函数y = f(x) + 3x的零点个数是 (　　　)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案：
(2)C 令$f(x)+3x = 0$，则$\begin{cases}x\leqslant0,\\x^{2}-2x + 3x = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x＞0,\\1+\frac{1}{x}+3x = 0\end{cases}$，解得$x = 0$或$x = - 1$，所以函数$y = f(x)+3x$的零点个数是2.

(3)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0,+∞)时，$f(x)=2 024^x + log₂₀₂₄x，$则函数f(x)的零点个数是 (　　　)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案：

(3)C 作出函数$y = 2024^{x}$和$y = -\log_{2024}x$的图象如图所示， 可知函数$f(x)=2024^{x}+\log_{2024}x$在$x\in(0,+\infty)$上只有一个零点，又$f(x)$是定义在R上的奇函数，所以$f(x)$在$x\in(-\infty,0)$上只有一个零点，又$f(0)=0$，所以函数$f(x)$的零点个数是3.

对点训练
1.函数f(x)= $\begin{cases}x² + x - 2,x\leqslant0\\-1 + \ln x,x＞0\end{cases}$的零点个数为 (　　　)
A.3
B.2
C.7
D.0

答案：
1. B 方法一(直接法)
由$f(x)=0$得$\begin{cases}x\leqslant0,\\x^{2}+x - 2 = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x＞0,\\-1+\ln x = 0\end{cases}$，解得$x = - 2$或$x = e$.因此函数$f(x)$共有2个零点.
方法二(图象法)
函数$f(x)$的图象如图所示，由图象知函数$f(x)$共有2个零点.

2.函数y = x³ - ($\frac{1}{2}$)^x的零点个数为________.

答案：
2.【解析】根据题意，令$x^{3}-(\frac{1}{2})^{x}=0$，则$x^{3}=(\frac{1}{2})^{x}$，作出函数$y_{1}=x^{3}$与$y_{2}=(\frac{1}{2})^{x}$的图象，由图可知$y_{1}=x^{3}$与$y_{2}=(\frac{1}{2})^{x}$的图象只有一个交点，即方程$x^{3}=(\frac{1}{2})^{x}$只有一个解，故函数$y = x^{3}-(\frac{1}{2})^{x}$的零点个数为1.

答案：1

3.函数f(x)=($\frac{1}{2}$)^|x| - |log₂x|的零点有______个.

答案：
3.【解析】$f(x)=(\frac{1}{2})^{|x|}-|\log_{2}x|$的零点的个数即$(\frac{1}{2})^{|x|}=|\log_{2}x|$的根的个数，即为$y = (\frac{1}{2})^{|x|}$与$y = |\log_{2}x|$图象交点的个数，画出大致图象如图所示，则由图象可知交点有2个，即函数$f(x)$的零点有2个.

答案：2