《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.平面向量基本定理
条件 $e_1$，$e_2$是同一平面内的两个______________
结论 对于这一平面内的任一向量 $a$，有且只有一对实数 $\lambda_1$，$\lambda_2$，使 $a =$______________________
基底 若 $e_1$，$e_2$不共线，把 $\{e_1,e_2\}$叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
微点拨 基底 $\{e_1,e_2\}$必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.若基底给定，则同一向量的分解形式唯一.

答案： 不共线向量 $\lambda_1e_1 + \lambda_2e_2$

2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的加法、减法、数乘及向量的模
设 $a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$，
则 $a + b=$________________，
$a - b=$________________，
$\lambda a=$________________，$\vert a\vert=$__________________.
(2)两点间的向量坐标公式
已知 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $\overrightarrow{AB}=$____________，$\vert\overrightarrow{AB}\vert=$____________________.
(3)单位向量
$a=(x,y)$，
同向单位向量为________________________，
反向单位向量为________________________.

答案：
(1)$(x_1 + x_2,y_1 + y_2)$ $(x_1 - x_2,y_1 - y_2)$ $(\lambda x_1,\lambda y_1)$ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
(2)$(x_2 - x_1,y_2 - y_1)$ $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
(3)$(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}})$ $(\frac{-x}{\sqrt{x^2 + y^2}},\frac{-y}{\sqrt{x^2 + y^2}})$

3.平面向量共线的坐标表示
设 $a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$，其中 $b\neq0$，则 $a// b\Leftrightarrow a=\lambda b(\lambda\in R)\Leftrightarrow$________________________.
微点拨 只有 $x_2y_2\neq0$时，$a// b$才与 $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$等价.

答案： $x_1y_2 = x_2y_1$

1.(思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在 $\triangle ABC$中，$\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\}$可以作为基底. (　　　)
(2)平面向量无论经过怎样的平移变换其坐标都不变. (　　　)
(3)设 $a$，$b$是平面内的一组基底，若实数 $\lambda_1$，$\mu_1$，$\lambda_2$，$\mu_2$满足 $\lambda_1a+\mu_1b=\lambda_2a+\mu_2b$，则 $\lambda_1=\lambda_2$，$\mu_1=\mu_2$. (　　　)
(4)若 $a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$，则 $a// b$的充要条件可以表示成 $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$. (　　　)

答案： 提示：
(4)若 $b=(0,0)$，则 $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ 无意义. 答案：
(1)√　
(2)√　
(3)√　
(4)×