《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
在四棱锥$P - ABCD$中，$PD\perp$平面ABCD，底面ABCD为矩形，$PD = DC = 4$，$DA = 3$，M为PC中点，则异面直线PA与BM之间的距离为________.

答案：
【解析】因为PD⊥平面ABCD,
所以PD⊥AD,PD⊥CD,
因为底面ABCD为矩形,所以AD⊥CD,
所以以DA,DC,DP两两垂直,
建立如图所示的空间直角坐标系,

因为PD = DC = 4,DA = 3,M为PC中点,
所以AP→=(-3,0,4),BM→=(-3,-2,2),AB→=(0,4,0),
设PA与BM的公垂线的方向向量为m=(x,y,z),
{m·AP→=-3x + 4z = 0,m·BM→=-3x - 2y + 2z = 0,
令x = 4,m=(4,-3,3),
所以异面直线PA与BM之间的距离为|m·AB→|/|m| =12/√4²+(-3)²+3² =6√34/17.
答案:6√34/17

1. 异面直线所成角
设a，b分别是两异面直线l₁，l₂的方向向量，则
|项目|a与b的夹角β|l₁与l₂所成的角θ|
|----|----|----|
|范围|______________|______________|
|求法|______________|$\cos\theta =|\cos\beta|=\frac{|a\cdot b|}{|a||b|}$|
微点拨 异面直线方向向量夹角的余弦值可能为负值，异面直线所成角的余弦值一定为非负值.

答案： (0,π) (0,π/2] cosβ=a·b/|a||b|

2. 直线与平面所成的角
(1)范围：________________；
(2)向量求法：设直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线AB与平面α所成的角为θ，则$\sin\theta =$____________________ = ______________.
微点拨 不平行于平面的直线与平面所成的角为锐角或直角，其正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值.

答案：
(1)[0,π/2]
(2)|cos| u·n/|u||n|

3. 平面与平面的夹角
(1)定义：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角；
(2)求法：设n₁，n₂分别是两平面α，β的法向量，α，β的夹角为θ，则$\cos\theta =$________________ =$\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}$.

答案：
(2)|cos＜n1,n2＞|

4. 二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α - l - β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ = __________.

(2)如图②③，n₁，n₂分别是二面角α - l - β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足$|\cos\theta| =$____________________.
微点拨 在空间几何体的直观图中，有时不容易直观确定二面角的大小，若条件中未明确给出，一般以锐二面角为主.

答案：
(1)＜AB,CD＞
(2)|cos＜n1,n2＞|