《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。( )
(2)若直线a//平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条。( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。( )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面。( )

答案： 1.提示:
(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故
(1)错误
(2)若 $a//\alpha$，$P\in\alpha$，则过点 $P$ 且平行于 $a$ 的直线只有一条，故
(2)错误
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故
(3)错误.答案:
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)√

2. (必修二P138例3变形式)已知直线l和平面α，若l//α，P∈α，则过点P且平行于l的直线 ( )
A. 只有一条，不在平面α内
B. 只有一条，且在平面α内
C. 有无数条，一定在平面α内
D. 有无数条，不一定在平面α内

答案： 2.B　过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点 $P$ 在平面 $\alpha$ 内，所以这条直线也应该在平面 $\alpha$ 内.

3. (易忽略“a⊂α”而致误)两条直线a，b满足a//b，b⊂α，则a与平面α的位置关系一定是 ( )
A. a//α
B. a⊂α
C. a与α相交
D. a与α不相交

答案： 3.D　由于 $b\subset\alpha$ 且 $a// b$，则 $a//\alpha$ 或 $a\subset\alpha$. 故 $a$ 与 $\alpha$ 不相交.

4. (必修二P137例2变形式)如图所示的三棱柱ABC - A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是 ( )

A. 异面
B. 平行
C. 相交
D. 以上均有可能

答案： 4.B　在三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$AB// A_{1}B_{1}$，因为 $AB\subset$ 平面 $ABC$，$A_{1}B_{1}\not\subset$ 平面 $ABC$，所以 $A_{1}B_{1}//$ 平面 $ABC$，因为过 $A_{1}B_{1}$ 的平面与平面 $ABC$ 交于 $DE$，所以 $DE// A_{1}B_{1}$，所以 $DE// AB$.

角度1 直线与平面平行的判定
[例1]如图所示的四棱锥P - ABCD中，底面AB - CD是梯形，AB//CD，AD = BD = 2，∠BDC = $\frac{\pi}{3}$，BC = 2$\sqrt{3}$，PD⊥平面ABCD，FC = 2PF.
证明：AP//平面BDF.

答案：
[例1][证明]因为 $AB// CD$，所以 $\angle DBA = \angle BDC = \frac{\pi}{3}$，
因为 $AD = BD$，所以 $\triangle DAB$ 为等边三角形，所以 $AB = DB = 2$，
在 $\triangle BDC$ 中，$DB = 2$，$\angle BDC = \frac{\pi}{3}$，$BC = 2\sqrt{3}$，
由余弦定理得 $BC^{2}=BD^{2}+CD^{2}-2BD\cdot CD\cdot\cos\angle BDC$，即 $(2\sqrt{3})^{2}=2^{2}+CD^{2}-2\times2\times CD\times\frac{1}{2}$，所以 $CD = 4$.
如图，连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $E$，连接 $EF$，
　　　　　　
因为 $AB// CD$，所以 $\triangle ABE\sim\triangle CDE$，
所以 $AE:EC = AB:CD = 1:2$，
因为 $PF:FC = 1:2$，所以 $EF// AP$，
又 $AP\not\subset$ 平面 $BDF$，$EF\subset$ 平面 $BDF$，
所以 $AP//$ 平面 $BDF$.