《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

25. (12分)(绵阳中考) 如图, 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 交 $ x $ 轴于 $ A(-1,0) $、$ B $ 两点, 交 $ y $ 轴于点 $ C(0,3) $, 顶点 $ D $ 的横坐标为1.
(1) 求抛物线的表达式.
(2) 在 $ y $ 轴的负半轴上是否存在点 $ P $ 使 $ \angle APB + \angle ACB = 180^{\circ} $? 若存在, 求出点 $ P $ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
(3) 过点 $ C $ 作直线 $ l $ 与 $ y $ 轴垂直, 与抛物线的另一个交点为 $ E $, 连接 $ AD $、$ AE $、$ DE $, 在直线 $ l $ 下方的抛物线上是否存在一点 $ M $, 过点 $ M $ 作 $ MF \perp l $, 垂足为 $ F $, 使以 $ M $、$ F $、$ E $ 三点为顶点的三角形与 $ \triangle ADE $ 相似? 若存在, 请求出点 $ M $ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

答案： 1. （1）求抛物线的表达式：
已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$交$x$轴于$A(-1,0)$，交$y$轴于$C(0,3)$，顶点$D$的横坐标为$1$。
由对称轴公式$x =-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$。
把$A(-1,0)$，$C(0,3)$代入$y = ax^{2}+bx + c$得$\begin{cases}a - b + c = 0\\c = 3\end{cases}$。
将$b=-2a$，$c = 3$代入$a - b + c = 0$，得$a-(-2a)+3 = 0$，即$3a=-3$，解得$a=-1$。
则$b=-2a = 2$。
所以抛物线的表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
2. （2）判断是否存在点$P$：
令$-x^{2}+2x + 3 = 0$，即$x^{2}-2x - 3 = 0$，因式分解得$(x + 1)(x - 3)=0$，解得$x=-1$或$x = 3$，所以$B(3,0)$。
因为$\angle APB+\angle ACB = 180^{\circ}$，$\angle ACB+\angle OCA+\angle OCB = 180^{\circ}$，所以$\angle APB=\angle OCA+\angle OCB$。
又$\tan\angle OCA=\frac{OA}{OC}=\frac{1}{3}$，$\tan\angle OCB = 1$，$\tan\angle ABC=\frac{OC}{OB}=1$。
设$P(0,y)(y\lt0)$，$\tan\angle APB=\tan(\angle OCA+\angle OCB)=\frac{\tan\angle OCA+\tan\angle OCB}{1-\tan\angle OCA\tan\angle OCB}=\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}×1}=2$。
由$\tan\angle APB=\frac{OA - (-y)}{OB}=\frac{1 - y}{3}=2$，解得$y=-5$。
所以存在点$P(0,-5)$。
3. （3）判断是否存在点$M$：
对于$y=-x^{2}+2x + 3$，当$y = 3$时，$-x^{2}+2x + 3 = 3$，解得$x = 0$或$x = 2$，所以$E(2,3)$。
由$y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，得$D(1,4)$。
计算$AD=\sqrt{(1 + 1)^{2}+(4 - 0)^{2}}=\sqrt{4 + 16}=2\sqrt{5}$，$AE=\sqrt{(2 + 1)^{2}+(3 - 0)^{2}}=\sqrt{9 + 9}=3\sqrt{2}$，$DE=\sqrt{(2 - 1)^{2}+(3 - 4)^{2}}=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}$。
因为$DE^{2}+AE^{2}=AD^{2}$，所以$\triangle ADE$是直角三角形，$\angle AED = 90^{\circ}$，且$\frac{AE}{DE}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3$。
设$M(x,-x^{2}+2x + 3)$，则$F(x,3)$，$EF=\vert2 - x\vert$，$MF = 3-(-x^{2}+2x + 3)=x^{2}-2x$。
当$\frac{MF}{EF}=3$时，$\frac{x^{2}-2x}{\vert2 - x\vert}=3$。
当$x\lt2$时，$\frac{x^{2}-2x}{2 - x}=3$，即$-x = 3$，解得$x=-3$，此时$M(-3,-12)$。
当$\frac{EF}{MF}=3$时，$\frac{\vert2 - x\vert}{x^{2}-2x}=3$。
当$x\lt2$时，$\frac{2 - x}{x^{2}-2x}=3$，即$\frac{-(x - 2)}{x(x - 2)}=3$，$-\frac{1}{x}=3$，解得$x=-\frac{1}{3}$，此时$M(-\frac{1}{3},\frac{8}{9})$。
综上，（1）抛物线表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$；（2）存在，$P(0,-5)$；（3）存在，$M(-3,-12)$或$M(-\frac{1}{3},\frac{8}{9})$。