《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

20.(8分)如图,已知PA、PB分别切⊙O于点A、B,点E为劣弧AB上一点,过点E的切线交PA于点C、交PB于点D.
(1)若$PA = 6$,求△PCD的周长;
(2)若$\angle P = 50^{\circ}$,求$\angle DOC$的度数.

答案： （1）如图，连接OE，
∵PA、PB与⊙O相切，
∴PB=PA=6，同理可得AC=CE，BD=DE，
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12.
（2）
∵PA、PB与⊙O相切，
∴∠OAP=∠OBP=90°.又
∵∠P=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°.在Rt△AOC和Rt△EOC中，$\left\{\begin{array}{l}OA=OE\\ OC=OC\end{array}\right.$，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)，
∴∠AOC=∠COE，同理∠DOE=∠BOD，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=65°.

21.(8分)已知⊙O和⊙O上的一点A.
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
(2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上,求证:DE是⊙O内接正十二边形的一边.

答案： （1）如图所示.作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC;③依次连接A、B、C、D四点，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形;④分别以A、C为圆心，以OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G;⑤顺次连接A、E、F、C、G、H各点，六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形.
（2）连接OE、DE，如图.
∵∠AOD=90°，∠AOE=60°，
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=90°-60°=30°，
∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边.

22.(8分)如图,O为菱形ABCD对角线上一点,以点O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.
(1)求证:CD与⊙O相切;
(2)若菱形ABCD的边长为2,$\angle ABC = 60^{\circ}$,求⊙O的半径.

答案： （1）如图，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N.
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，OM是⊙O的半径.
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴CA平分∠BCD.
∵ON⊥CD，OM⊥BC，
∴ON=OM=r，
∴CD与⊙O相切.
（2）
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC.
∵∠ABC=60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴AC=AB=2，设⊙O的半径为r，则OC=2-r，OM=r.
∵∠ACB=60°，∠OMC=90°，
∴∠COM=30°，MC=$\frac{2 - r}{2}$，在Rt△OMC中，∠OMC=90°.
∵OM²+CM²=OC²，
∴r²+($\frac{2 - r}{2}$)²=(2 - r)²，解得r=-6 + 4$\sqrt{3}$或-6 - 4$\sqrt{3}$(舍去)，
∴⊙O的半径为-6 + 4$\sqrt{3}$.