《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23.(16分)(2024·河北中考)某公司为提高员工的专业能力,定期对员工进行技能测试,考虑多种因素影响,需将测试的原始成绩x(分)换算为报告成绩y(分).已知原始成绩满分150分,报告成绩满分100分,换算规则如下:
当$0\leqslant x\lt p$时,$y= \frac{80x}{p}$;
当$p\leqslant x\leqslant150$时,$y= \frac{20(x-p)}{150-p}+80$.
(其中p是小于150的常数,是原始成绩的合格分数线,80是报告成绩的合格分数线)
公司规定报告成绩为80分及80分以上(即原始成绩为p及p以上)为合格.
(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分,若$p= 100$,求甲、乙的报告成绩;
(2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分,若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分,请推算p的值;
(3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表:
|原始成绩/分|95|100|105|110|115|120|125|130|135|140|145|150|
|人数|1|2|2|5|8|10|7|16|20|15|9|5|
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数;
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分,直接写出该公司此次测试的合格率.

答案：
(1)当$p = 100$时,甲的报告成绩为$y=\frac{80×95}{100}=76$(分),乙的报告成绩为$y=\frac{20×(130 - 100)}{150 - 100}+80 = 92$(分).
(2)设丙的原始成绩为$x_{1}$分,则丁的原始成绩为$(x_{1}-40)$分,Ⅰ.$0\leqslant x_{1}＜p$时,$y_{丙}=92=\frac{80x_{1}}{p}$①,$y_{丁}=64=\frac{80(x_{1}-40)}{p}$②,由① - ②得$\frac{3200}{p}=28$,$\therefore p=\frac{800}{7}$,$\therefore x_{1}=\frac{92×\frac{800}{7}}{80}=\frac{920}{7}\approx131＞p$,故不成立,舍去;Ⅱ.$p\leqslant x_{1}-40\leqslant150$时,$y_{丙}=92=\frac{20(x_{1}-p)}{150 - p}+80$③,$y_{丁}=64=\frac{20(x_{1}-40 - p)}{150 - p}+80$④,由③ - ④得$28=\frac{800}{150 - p}$,$\therefore p=\frac{850}{7}$,$\therefore 92=\frac{20(x_{1}-\frac{850}{7})}{150-\frac{850}{7}}+80$,$\therefore x_{1}=\frac{970}{7}$,$\therefore x_{1}-40=\frac{690}{7}＜p=\frac{850}{7}$,故不成立,舍去;Ⅲ.$0\leqslant x_{1}-40＜p,p\leqslant x_{1}\leqslant150$时,$y_{丙}=92=\frac{20(x_{1}-p)}{150 - p}+80$⑤,$y_{丁}=64=\frac{80(x_{1}-40)}{p}$⑥,联立⑤⑥解得$p = 125$,$x_{1}=140$,且符合题意,综上所述$p = 125$.
(3)①130 【解析】共计100名员工,且成绩已经排列好,
∴ 中位数是第50、51名员工成绩的平均数,由表格得第50、51名员工成绩都是130分,
∴ 中位数为130. ②该公司此次测试的合格率为95%. 【解析】当$p＞130$时,则$90=\frac{80×130}{p}$,解得$p=\frac{1040}{9}＜130$,故不成立,舍去;当$p\leqslant130$时,则$90=\frac{20(130 - p)}{150 - p}+80$,解得$p = 110$,符合题意,
∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为$100-(1 + 2 + 2)=95$,$\therefore$ 合格率为$\frac{95}{100}×100\% = 95\%$.