《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

18. 如图,已知半圆$O$的直径为2,$AP与半圆O相切于点A$,长度为1的线段$CD$在半圆上滑动,$E是射线AP$上一动点,则$BC + DE$的最小值是$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$

19. (12分)按要求解下列方程:
(1)$(x - 1)^{2}= 9$; (2)$x^{2}-4x = - 8$;
(3)$5x^{2}-3x = x + 1$; (4)$2x(x - 3)= 9 - 3x$.

答案：
(1)(x - 1)²=9,
∴x - 1=±3,
∴x₁=4,x₂=-2.
(2)
∵x²-4x=-8,
∴x²-4x+8=0,
∴b²-4ac=(-4)²-4×1×8=-16＜0,
∴原方程无解.
(3)5x²-3x=x + 1,整理为一般式,得5x²-4x-1=0.
∵a=5,b=-4,c=-1,
∴b²-4ac=(-4)²-4×5×(-1)=36,则x=$\frac{4\pm\sqrt{36}}{2×5}$=$\frac{2\pm3}{5}$,即x₁=1,x₂=-$\frac{1}{5}$.
(4)2x(x - 3)=9 - 3x,移项得2x(x - 3)+3(x - 3)=0,分解因式得(2x + 3)(x - 3)=0,
∴2x + 3=0或x - 3=0,解得x₁=-$\frac{3}{2}$,x₂=3.

20. (8分)已知关于$x的方程x^{2}-(k + 1)x + k - 1 = 0$($k$为常数).
(1)求证:不论$k$取何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程的两个实数根为$x_{1}和x_{2}$,且$x_{1}+x_{2}= 3x_{1}x_{2}$,求$k$的值.

答案：
(1)
∵b²-4ac=[-(k + 1)]²-4(k - 1)=k²-2k + 5=(k - 1)²+4＞0,
∴不论k取何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)
∵方程有两个实数根为x₁、x₂,
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=k + 1,x₁x₂=$\frac{c}{a}$=k - 1.
∵x₁+x₂=3x₁x₂,
∴k + 1=3(k - 1),解得k=2.

21. (8分)如图,在$\triangle ACE$中,$AC = CE$,$\odot O经过点A$、$C且与边AE$、$CE分别交于点D$、$F$,点$B是\overgroup{AC}$上一点,且$\overgroup{DF}= \overgroup{BC}$,连接$AB$、$BC$、$CD$.
(1)求证:$\triangle CDE\cong\triangle ABC$.
(2)若$AC为\odot O$的直径,填空:
①当$\angle E = $60°时,四边形$OCFD$为菱形;
②当$\angle E = $45°时,四边形$ABCD$为正方形.

答案：
(1)
∵$\overset{\frown}{DF}= \overset{\frown}{BC}$,
∴∠BAC=∠DCE.
∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角,
∴∠CDE=∠ABC.在△CDE和△ABC中,$\begin{cases}\angle CDE=\angle ABC\\\angle DCE=\angle BAC\\CE=AC\end{cases}$,
∴△CDE≌△ABC(AAS).
(2)①60° ②45°