《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

9. (2024·宿迁中考)在综合实践活动课上,同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动。
【操作判断】
操作一：如图①,对折正方形纸片 $ABCD$,得到折痕 $AC$,把纸片展平；
操作二：如图②,在边 $AD$ 上选一点 $E$,沿 $BE$ 折叠,使点 $A$ 落在正方形内部,得到折痕 $BE$；
操作三：如图③,在边 $CD$ 上选一点 $F$,沿 $BF$ 折叠,使边 $BC$ 与边 $BA$ 重合,得到折痕 $BF$。
把正方形纸片展平,得图④,折痕 $BE$、$BF$ 与 $AC$ 的交点分别为 $G$、$H$。
根据以上操作,得 $\angle EBF = $______$^{\circ}$。
【探究证明】
(1)如图⑤,连接 $GF$,试判断 $\triangle BFG$ 的形状并证明；
(2)如图⑥,连接 $EF$,过点 $G$ 作 $CD$ 的垂线,分别交 $AB$、$CD$、$EF$ 于点 $P$、$Q$、$M$。求证：$EM = MF$。
【深入研究】
若 $\frac{AG}{AC} = \frac{1}{k}$,请求出 $\frac{GH}{HC}$ 的值(用含 $k$ 的代数式表示)。

答案：
【操作判断】45 【解析】如图①，由题意得，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC = 90°，
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 90°，
∴ 2(∠2 + ∠3) = 90°，
∴ ∠2 + ∠3 = 45°，即∠EBF = 45°.
　　　　　 　　
【探究证明】
(1)△BFG是等腰直角三角形.证明：如图②，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD = 90°，∠6 = ∠8 = 45°.
∵ ∠5 = 45°，
∴ ∠5 = ∠6.
∵ ∠GHB = ∠FHC，
∴ △GHB∽△FHC，
∴ $\frac{GH}{FH}$ = $\frac{BH}{CH}$，
∴ $\frac{GH}{BH}$ = $\frac{FH}{CH}$.
∵ ∠GHF = ∠BHC，
∴ △GHF∽△BHC，
∴ ∠7 = ∠8 = 45°，
∴ ∠7 = ∠5 = 45°，
∴ GB = GF，∠BGF = 90°，
∴ △BFG是等腰直角三角形.
(2)如图③，由翻折得，∠AEB = ∠BEF，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠D = 90°，即AD⊥DC.
∵ PQ⊥CD，
∴ PQ//AD，
∴ ∠AEB = ∠EGM，
∴ ∠BEF = ∠EGM，
∴ ME = MG.
∵ ∠BGF = 90°，
∴ ∠EGF = 90°，
∴ ∠EGM + ∠MGF = ∠BEF + ∠EFG = 90°，
∴ ∠MGF = ∠EFG，
∴ MG = MF，
∴ EM = MF.
　　
【深入研究】如图④，连接BD，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = AD = BC，∠ABC = ∠DAB = ∠ADC = ∠BCD = 90°，AD//BC.
∵ AC，BD是对角线،
∴ ∠4 = ∠5 = ∠CBD = 45°.
∵ ∠EBF = 45°，
∴ ∠2 + ∠3 = ∠1 + ∠2，
∴ ∠1 = ∠3，
∴ △BED∽△BHC，
∴ $\frac{CH}{ED}$ = $\frac{BC}{BD}$.在Rt△BCD中，∠CBD = 45°，
∴ cos∠CBD = $\frac{BC}{BD}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $\frac{CH}{ED}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵ $\frac{AG}{AC}$ = $\frac{1}{k}$，
∴ 设AG = 1，AC = k，
∴ AB = BC = AC·cos∠4 = $\frac{\sqrt{2}}{2}$k = AD.
∵ AD//BC，
∴ △AEG∽△CBG，
∴ $\frac{AE}{BC}$ = $\frac{AG}{GC}$，
∴ $\frac{AE}{\frac{\sqrt{2}}{2}k}$ = $\frac{1}{k - 1}$，
∴ AE = $\frac{\sqrt{2}k}{2(k - 1)}$，
∴ DE = $\frac{\sqrt{2}}{2}$k - $\frac{\sqrt{2}k}{2(k - 1)}$ = $\frac{\sqrt{2}k(k - 2)}{2k - 2}$，
∴ CH = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ED = $\frac{k² - 2k}{2k - 2}$，
∴ GH = k - 1 - $\frac{k² - 2k}{2k - 2}$ = $\frac{k² - 2k + 2}{2k - 2}$，
∴ $\frac{GH}{CH}$ = $\frac{k² - 2k + 2}{k² - \text{2k}}$.