《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

22. (10分)(2023·潍坊中考)某中学积极推进校园文学创作,倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件.学期末,学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查.
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生,统计每人在本学期投稿的篇数,制作了频数分布表.
|投稿篇数/篇|1|2|3|4|5|
|七年级频数/人|7|10|15|12|6|
|八年级频数/人|2|10|13|21|4|
【数据的描述与分析】
(1)求扇形统计图中圆心角$\alpha$的度数,并补全频数直方图.

七年级样本学生投稿篇数扇形统计图

八年级样本学生投稿篇数频数直方图
(2)根据频数分布表分别计算有关统计量:
|统计量|中位数|众数|平均数|方差|
|七年级|3|3| $ \overline{x} $ |1.48|
|八年级|m|n|3.3|1.01|
直接写出表格中$m$、$n$的值,并求出$ \overline{x} $.
【数据的应用与评价】
(3)从中位数、众数、平均数、方差中,任选两个统计量,对七、八年级学生的投稿情况进行比较,并做出评价.

答案： （1）两个年级随机抽取的学生数量均为$7 + 10 + 15 + 12 + 6 = 2 + 10 + 13 + 21 + 4 = 50$（人），则$\alpha = 360^{\circ}×\frac{10}{50}=72^{\circ}$。补全频数直方图如下：（此处按参考答案应有图，文字部分保留解析）；（2）$\overline{x}=\frac{1×7 + 2×10 + 3×15 + 4×12 + 5×6}{50}=3$（篇），将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数，
∵$2 + 10 + 13 = 25$，$2 + 10 + 13 + 21 = 46$，
∴中位数$m=\frac{3 + 4}{2}=3.5$。
∵在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数4出现的次数最多，
∴众数$n = 4$；（3）从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，
∴八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好。

23. (10分)新题型新定义我们知道:有一内角为直角的三角形叫做直角三角形.类似地,我们定义:有一内角为$45^{\circ}$的三角形叫做半直角三角形.如图,在平面直角坐标系中,$O$为原点,$ A(4,0) $,$ B(-4,0) $,$D是y$轴上的一个动点,$ \angle ADC = 90^{\circ} $($A$、$D$、$C$按顺时针方向排列),$BC与经过A$、$B$、$D三点的 \odot M 交于点E$,$DE平分 \angle ADC $,连接$AE$、$BD$、$AC$.显然$ \triangle DCE $、$ \triangle DEF $、$ \triangle DAE $是半直角三角形.
(1)求证:$ \triangle ABC $是半直角三角形;
(2)求证:$ \angle DEC = \angle DEA $;
(3)若点$D的坐标为 (0,8) $,求$AE$的长.
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答案： （1）
∵$\angle ADC = 90^{\circ}$，DE平分$\angle ADC$，
∴$\angle ADE = 45^{\circ}$。
∵$\angle ABE = \angle ADE = 45^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$是半直角三角形；（2）
∵$OM\perp AB$，$OA = OB$
∴$AD = BD$，
∴$\angle DAB = \angle DBA$。
∵$\angle DEB = \angle DAB$，
∴$\angle DBA = \angle DEB$。
∵D、B、A、E四点共圆，
∴$\angle DBA + \angle DEA = 180^{\circ}$。
∵$\angle DEB+\angle DEC = 180^{\circ}$，
∴$\angle DEC = \angle DEA$；（3）连接AM、ME，设$\odot M$的半径为r，
∵点D的坐标为$(0,8)$，
∴$OM = 8 - r$，由$OM^{2}+OA^{2}=MA^{2}$，得$(8 - r)^{2}+4^{2}=r^{2}$，解得$r = 5$，
∴$\odot M$的半径为5。
∵$\angle ABE = 45^{\circ}$，
∴$\angle EMA = 2\angle ABE = 90^{\circ}$，
∴$AE^{2}=MA^{2}+ME^{2}=5^{2}+5^{2}=50$，
∴$AE = 5\sqrt{2}$。