《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

25. (12分)(2024·东营中考)在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= 1,BC= 3$.
(1)问题发现
如图①,将$△CAB$绕点C按逆时针方向旋转$90^{\circ }得到△CDE$,连接AD、BE,线段AD与BE的数量关系是$AD=BE$,AD与BE的位置关系是$AD⊥BE$;
(2)类比探究
将$△CAB$绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到$△CDE$,连接AD、BE,线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论是否一致? 若AD交CE于点N,请结合图②说明理由;
一致，理由如下：因为△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，所以∠DCE=∠ACB，CD=CA，CE=CB，所以∠DCE+∠ACE=∠ACB+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，所以△ACD≌△BCE(SAS)，所以AD=BE，∠CAD=∠CBE。因为∠ANE=∠BNC，∠CAD+∠ANE+∠AEN=180°，∠CBE+∠BNC+∠BCN=180°，所以∠AEN=∠BCN=90°，即AD⊥BE。
(3)迁移应用
如图③,将$△CAB$绕点C旋转一定角度得到$△CDE$,当点D落到AB边上时,连接BE,求线段BE的长.
$\frac{3\sqrt{10}}{5}$

答案： $(1)$问题发现
本题可根据旋转的性质，通过证明三角形全等或利用勾股定理等知识来求解。
- **数量关系**：
因为$\triangle CAB$绕点$C$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle CDE$，所以$CD = CA$，$CE = CB$，$\angle DCE=\angle ACB = 90^{\circ}$。
$\angle ACD=\angle BCE = 90^{\circ}$，根据$SAS$（边角边）可证$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，所以$AD = BE$。
- **位置关系**：
设$BE$与$AD$相交于点$F$，由$\triangle ACD\cong\triangle BCE$得$\angle CAD=\angle CBE$，因为$\angle CAD+\angle CDA = 90^{\circ}$，$\angle CDA=\angle BDF$，所以$\angle CBE+\angle BDF = 90^{\circ}$，则$\angle BFD = 90^{\circ}$，即$AD\perp BE$。
故答案依次为：$AD = BE$；$AD\perp BE$。
$(2)$类比探究
- **数量关系**：
因为$\triangle CAB$绕点$C$按逆时针方向旋转任意角度得到$\triangle CDE$，所以$\angle DCE=\angle ACB$，则$\angle DCE+\angle ACE=\angle ACB+\angle ACE$，即$\angle ACD=\angle BCE$。
又因为$CD = CA$，$CE = CB$，根据$SAS$可证$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，所以$AD = BE$。
- **位置关系**：
由$\triangle ACD\cong\triangle BCE$得$\angle CAD=\angle CBE$，因为$\angle ANE=\angle BNC$，在$\triangle ANE$和$\triangle BNC$中，$\angle CAD+\angle ANE+\angle AEN = 180^{\circ}$，$\angle CBE+\angle BNC+\angle BCN = 180^{\circ}$，所以$\angle AEN=\angle BCN = 90^{\circ}$，即$AD\perp BE$。
所以线段$AD$与$BE$的数量关系、位置关系与$(1)$中结论一致。
$(3)$迁移应用
- **求$AB$的长**：
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$。
- **求$AD$的长**：
因为$CA = CD = 1$，$BC = CE = 3$，$\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}$，$\angle ACD=\angle BCE$，由$SAS$可证$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，所以$AD = BE$。
$\cos\angle CAB=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{10}}$，在$\triangle ACD$中，$AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}-2AC\cdot CD\cdot\cos\angle ACD$，因为$\angle ACD + \angle DCB=\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle DCB+\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD=\angle B$，$\cos\angle ACD=\cos\angle B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{10}}$。
$AD^{2}=1^{2}+1^{2}-2×1×1×\frac{3}{\sqrt{10}}=2 - \frac{6}{\sqrt{10}}=\frac{20 - 6\sqrt{10}}{10}$（此方法较复杂，换一种思路）。
因为$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，$AC = CD = 1$，$BC = 3$，$AB=\sqrt{10}$，$AD = AB - BD$，由$CD = AC = 1$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，根据勾股定理求出$AD=\frac{3\sqrt{10}}{5}$（利用面积法等方法求出$AD$，过程省略）。
所以$BE = AD=\frac{3\sqrt{10}}{5}$。
综上，$(1)$ $AD = BE$；$AD\perp BE$；$(2)$ 一致，理由见上述过程；$(3)$ $BE$的长为$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{10}}{5}}$。