《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

24. (10分)(2024·盐城期中)如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 8cm,BC = 16cm$,点$P从点A出发沿AB$以1 cm/s的速度向点$B$移动;同时,点$Q从点B出发沿BC$以2 cm/s的速度向点$C$移动,当其中一点到达终点运动即停止.设运动时间为$t$s.
(1)在运动过程中,$PQ的长度能否为2\sqrt{13}cm$?若能,求出$t$的值;若不能,请说明理由.
(2)在运动过程中,$\triangle PDQ的面积能否为32cm^{2}$?若能,求出$t$的值;若不能,请说明理由.
(3)取$PQ的中点M$,运动过程中,当$\angle AMD = 90^{\circ}$时,直接写出$t$的值:____.

答案：

(1)PQ的长度能为2√13 cm,理由如下:
∵点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,当其中一点到达终点运动即停止,
∴0≤t≤8,AP=t cm,BP=AB-AP=(8-t)cm,BQ=2t cm,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,在Rt△BPQ中,BP²+BQ²=PQ²,
∴(8-t)²+(2t)²=(2√13)²,解得t=$\frac{6}{5}$或t=2.
∴PQ的长度能为2√13.
(2)不能.理由如下:设运动x s后△PDQ的面积为32 cm²,则AP=x cm,BP=(8-x)cm,BQ=2x cm,CQ=(16-2x)cm,S△PDQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ=AB·BC$\frac{-1}{2}$×AD·AP$\frac{-1}{2}$×CD·CQ$\frac{-1}{2}$×BP·BQ=8×16$\frac{-1}{2}$×16x$\frac{-1}{2}$×8(16-2x)$\frac{-1}{2}$×(8-x)·2x=x²-8x+64=32,即x²-8x+64=32,
∴x²-8x+32=0,
∵b²-4ac=64-4×32＜0,
∴方程无实数根,
∴△PDQ的面积不能为32 cm².
(3)8或$\frac{8}{5}$ 【解析】如图,以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系，
∴P(0,8-t),Q(2t,0),A(0,8),D(16,8).
∵M是PQ的中点,
∴M(t,(8-t)/2),
∴AM²=t²+(8-(8-t)/2)²=$\frac{5}{4}$t²+4t+16,DM²=(16-t)²+(8-(8-t)/2)²=$\frac{5}{4}$t²-28t+272.
∵∠AMD=90°,AD=16,
∴AM²+DM²=AD²,
∴$\frac{5}{4}$t²+4t+16$\frac{+5}{4}$t²-28t+272=16²,整理得5t²-48t+64=0,解得t₁=8,t₂=$\frac{8}{5.}$
∴t的值为8或$\frac{8}{5.}$