《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

21. (8分)已知二次函数 $ y = ( x - p ) ( x - q ) $ (p、q为实数),记顶点为G.
(1)直接写出点G的坐标(用含p、q的代数式表示);
(2)记该函数图像与y轴交于点H,直线HG与y轴所夹的角为 $ 45 ^ { \circ } $,当 $ 0 ＜ p ＜ q $ 时,求 $ p + q $ 的值;
(3)在(2)的前提条件下,若该二次函数的图像经过点 $ ( 0, a ) $、$ ( 2, b ) $,记 $ W = a \cdot b $,当 $ 0 ＜ p ＜ q ＜ 2 $ 时,试探究W的取值范围.

答案：
(1)点G的坐标为($\frac{p + q}{2}$， - $\frac{p² - 2pq + q²}{4}$)。
(2)当x = 0时，y = pq，
∴H(0，pq)。
∵直线HG与y轴所夹的角为45°，且0 ＜ p ＜ q，
∴二次函数y = (x - p)(x - q)的草图如图，过点G作GM⊥y轴于点M，则△GHM是等腰直角三角形，
∴HM = GM，
∴pq + $\frac{p² - 2pq + q²}{4}$ = $\frac{p + q}{2}$，化简得(p + q)² = 2(p + q)，又0 ＜ p ＜ q，
∴p + q ＞ 0，
∴p + q = 2。
(3)
∵二次函数的图像经过点(0，a)、(2，b)，
∴a = pq，b = (2 - p)(2 - q) = 4 - 2(p + q) + pq，由
(2)知p + q = 2，
∴b = 4 - 2×2 + pq = pq，
∴W = a·b = (pq)²。
∵0 ＜ p ＜ q ＜ 2，
∴0 ＜ pq ＜ 4，
∴0 ＜ (pq)² ＜ 16，
∴0 ＜ W ＜ 16。

22. (8分)(巴中中考节选)如图①,抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + 2 x + c $,交x轴于A、B两点,交y轴于点C,F为抛物线顶点,直线EF垂直x轴于点E,当 $ y \geq 0 $ 时,$ - 1 \leq x \leq 3 $.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P是线段BE上的动点(除点B、E外),过点P作x轴的垂线交抛物线于点D.如图②,直线AD、BD分别与抛物线的对称轴交于M、N两点.试问,$ E M + E N $ 是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.

答案：
(1)
∵当y≥0时， - 1≤x≤3，
∴x₁ = - 1，x₂ = 3是ax² + 2x + c = 0的两根，
∴A( - 1，0)，B(3，0)，代入抛物线y = ax² + 2x + c，得$\begin{cases}a - 2 + c = 0 \\ 9a + 6 + c = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - 1 \\ c = 3 \end{cases}$，
∴抛物线的表达式为y = - x² + 2x + 3。
(2)是定值。设D(m， - m² + 2m + 3)(1 ＜ m ＜ 3)，设直线AD的表达式为y = k₁x + b₁，直线BD的表达式为y = k₂x + b₂，因此可得$\begin{cases}0 = - k₁ + b₁ \\ - m² + 2m + 3 = k₁m + b₁ \end{cases}$和$\begin{cases}0 = 3k₂ + b₂ \\ - m² + 2m + 3 = k₂m + b₂ \end{cases}$，解得$\begin{cases}k₁ = 3 - m \\ b₁ = 3 - m \end{cases}$和$\begin{cases}k₂ = - 1 - m \\ b₂ = 3m + 3 \end{cases}$，
∴直线AD的表达式为y = (3 - m)x + (3 - m)，直线BD的表达式为y = - (m + 1)x + (3m + 3)。令x = 1得y_M = 6 - 2m，y_N = 2m + 2，
∴ME = 6 - 2m，NE = 2m + 2，
∴NE + ME = 8。

23. (12分)(2023·宿迁中考)规定:若函数 $ y _ { 1 } $ 的图像与函数 $ y _ { 2 } $ 的图像有三个不同的公共点,则称这两个函数互为“兄弟函数”,其公共点称为“兄弟点”.
(1)下列三个函数① $ y = x + 1 $;② $ y = - \frac { 3 } { x } $;③ $ y = - x ^ { 2 } + 1 $.其中与二次函数 $ y = 2 x ^ { 2 } - 4 x - 3 $ 互为“兄弟函数”的是②(填写序号).
(2)若函数 $ y _ { 1 } = a x ^ { 2 } - 5 x + 2 ( a \neq 0 ) $ 与 $ y _ { 2 } = - \frac { 1 } { x } $ 互为“兄弟函数”,$ x = 1 $ 是其中一个“兄弟点”的横坐标.
①求实数a的值;
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是$\frac{3 + \sqrt{17}}{4}$、$\frac{3 - \sqrt{17}}{4}$.
(3)若函数 $ y _ { 1 } = | x - m | $ (m为常数)与 $ y _ { 2 } = - \frac { 2 } { x } $ 互为“兄弟函数”,三个“兄弟点”的横坐标分别为 $ x _ { 1 } $、$ x _ { 2 } $、$ x _ { 3 } $,且 $ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } ＜ x _ { 3 } $,求 $ ( x _ { 2 } + x _ { 3 } - 2 x _ { 1 } ) ^ { 2 } $ 的取值范围.
由于y = - $\frac{2}{x}$的图像在第二、四象限，且y = |x - m|≥0，由此可得x₁、x₂、x₃ ＜ 0。
∵y = |x - m| = $\begin{cases}x - m(x≥m) \\ - x + m(x ＜ m) \end{cases}$，
∴将其分别联立。当x ＜ m时联立$\begin{cases}y = - x + m \\ y = - \frac{2}{x} \end{cases}$，得 - x² + mx + 2 = 0，由于m² + 8 ＞ 0，所以这一方程总有2个解，解得x = $\frac{m + \sqrt{m² + 8}}{2}$(舍去)或$\frac{m - \sqrt{m² + 8}}{2}$。当x≥m时，联立$\begin{cases}y = x - m \\ y = - \frac{2}{x} \end{cases}$，得x² - mx + 2 = 0，解得x = $\frac{m + \sqrt{m² - 8}}{2}$或$\frac{m - \sqrt{m² - 8}}{2}$。由于x≥m，从而得到m ＜ 0。为了使得这一方程有2个解，要求m² - 8 ＞ 0。由于$\frac{m + \sqrt{m² - 8}}{2}$ ＞ $\frac{m - \sqrt{m² - 8}}{2}$ ＞ $\frac{m - \sqrt{m² + 8}}{2}$，故x₁ = $\frac{m - \sqrt{m² + 8}}{2}$，x₂ = $\frac{m - \sqrt{m² - 8}}{2}$，x₃ = $\frac{m + \sqrt{m² - 8}}{2}$，
∴(x₂ + x₃ - 2x₁)² = ($\sqrt{m² + 8}$)² = m² + 8 ＞ 16

答案：
(1)②
(2)①将“兄弟点”的横坐标x = 1代入，得a - 5 + 2 = - 1，解得a = 2。②$\frac{3 + \sqrt{17}}{4}$、$\frac{3 - \sqrt{17}}{4}$
(3)由于y = - $\frac{2}{x}$的图像在第二、四象限，且y = |x - m|≥0，由此可得x₁、x₂、x₃ ＜ 0。
∵y = |x - m| = $\begin{cases}x - m(x≥m) \\ - x + m(x ＜ m) \end{cases}$，
∴将其分别联立。当x ＜ m时联立$\begin{cases}y = - x + m \\ y = - \frac{2}{x} \end{cases}$，得 - x² + mx + 2 = 0，由于m² + 8 ＞ 0，所以这一方程总有2个解，解得x = $\frac{m + \sqrt{m² + 8}}{2}$(舍去)或$\frac{m - \sqrt{m² + 8}}{2}$。当x≥m时，联立$\begin{cases}y = x - m \\ y = - \frac{2}{x} \end{cases}$，得x² - mx + 2 = 0，解得x = $\frac{m + \sqrt{m² - 8}}{2}$或$\frac{m - \sqrt{m² - 8}}{2}$。由于x≥m，从而得到m ＜ 0。为了使得这一方程有2个解，要求m² - 8 ＞ 0。由于$\frac{m + \sqrt{m² - 8}}{2}$ ＞ $\frac{m - \sqrt{m² - 8}}{2}$ ＞ $\frac{m - \sqrt{m² + 8}}{2}$，故x₁ = $\frac{m - \sqrt{m² + 8}}{2}$，x₂ = $\frac{m - \sqrt{m² - 8}}{2}$，x₃ = $\frac{m + \sqrt{m² - 8}}{2}$，
∴(x₂ + x₃ - 2x₁)² = ($\sqrt{m² + 8}$)² = m² + 8 ＞ 16