《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

25. (12分)思考发现:
(1)如图①,点$A和点B均在\odot O$上,且$\angle AOB = 60^{\circ}$,点$P和点Q均在射线AM$上,若$\angle APB = 30^{\circ}$,$\angle AQB\gt30^{\circ}$,试判断点$P$、点$Q与\odot O$的位置关系,并说明理由.
问题解决:
如图②,在四边形$ABCD$中,$\angle B= \angle D = 90^{\circ}$,$\angle DAB = 135^{\circ}$,且$AB = 2$,$AD = 4\sqrt{2}$.
(2)若点$P是BC$边上任意一点,且$\angle APD = 45^{\circ}$,求$BP$的长;
(3)如图③,以点$B$为圆心,$BC$长为半径作弧,交$BA的延长线于点E$,若点$Q为\overgroup{EC}$上的动点,过点$Q作QH\perp BC于点H$,设点$I为\triangle BQH$的内心,连接$BI$、$QI$,当点$Q从点C运动到点E$时,内心$I$所经过的路径长为$\frac{5\sqrt{2}\pi}{2}$.

答案：
(1)点P在⊙O上,点Q在⊙O内.理由:如图①,
∵∠APB=30°,∠AOB=60°,
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB,
∴点P在⊙O上.当∠AQB＞30°时,点Q在⊙O内部.
(2)如图②,过点D作DE垂直于BC,垂足为E,过点A作AF垂直于DE,垂足为F.
∵∠AFE=∠FEB=∠B=90°,
∴四边形ABEF是矩形,
∴∠BAF=90°.
∵∠BAD=135°,
∴∠DAF=135°-90°=45°.
∵∠AFD=90°,
∴∠FAD=∠FDA=45°,FA=FD.以点F为圆心,DF长为半径作圆,交BC于点P,连接AP、PD、PF,则∠APD=$\frac{1}{2}$∠AFD=45°.当点P在点E右侧时,
∵∠DAF=45°,AB=FE=2,AD=4$\sqrt{2}$,
∴FP=FA=4,
∴EP=$\sqrt{PF^2-EF^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}$=2$\sqrt{3}$,即BP=4+2$\sqrt{3}$.当点P在点E左侧时,即点P'位置,BP'=4-2$\sqrt{3}$,综上,BP的长为4+2$\sqrt{3}$或4-2$\sqrt{3}$.
(3)$\frac{5\sqrt{2}\pi}{2}$