《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23. (10 分)足球训练中,小军从球门正前方 8 米的 A 处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球离球门的水平距离为 2 米时,球达到最高点,此时球离地面 3 米.现以 O 为原点建立如图所示的直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)已知球门高 OB 为 2.4 米,通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).

答案： （1）由题意得抛物线の顶点坐标为(2,3),经过A(8,0),
∴ 可设抛物线为y = a(x - 2)² + 3,把点A(8,0)代入得36a + 3 = 0,解得a = -1/12,
∴ 抛物线の函数表达式为y = -1/12(x - 2)² + 3. （2）由题意得当x = 0时,y = -1/12×4 + 3 = 8/3 ＞ 2.4,
∴ 球不能射进球门.

24. (10 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,以 AB 为直径的 $ \odot O $ 分别与 BC、AC 交于点 D、E,过点 D 作 $ DF \perp AC $,垂足为 F.
(1)求证:直线 DF 是 $ \odot O $ 的切线;
(2)若 $ \odot O $ 的半径为 2,$ \angle CDF = 22.5^{\circ} $,求图中阴影部分的面积.

答案： （1）连接OD,如图①.
∵AB = AC,
∴∠B = ∠C.
∵OB = OD,
∴∠B = ∠ODB,
∴∠C = ∠ODB,
∴OD//AC.
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴ 直线DF是⊙Oの切线. （2）连接OE,如图②.
∵DF⊥AC,∠CDF = 22.5°,
∴∠C = ∠B = 67.5°,
∴∠BAC = 45°.
∵OA = OE,
∴∠AOE = 90°.
∵⊙O半径为2,
∴S扇形AOE = π,S△AOE = 2,
∴S阴影 = S扇形AOE - S△AOE = π - 2.

25. (10 分)2022 年冬奥会在北京召开,某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售,文化衫的进价为每件 30 元,当销售单价定为 70 元时,每天可售出 20 件,为了扩大销售,增加盈利,决定采取适当的降价措施,经调查发现:销售单价每降低 1 元,则每天可多售出 2 件(销售单价不低于进价),若设这款文化衫的销售单价为 x(元),每天的销售利润为 y(元).
(1)当销售单价为多少元时,销售这款文化衫每天所获得的利润为 1050 元?
(2)当销售单价为多少元时,销售这款文化衫每天所获得的利润最大,最大利润为多少元?

答案： （1）由题意可得(x - 30)[20 + 2(70 - x)] = 1050,解得x₁ = 65,x₂ = 45,
∴ 当销售单价为65元或45元时,销售这款文化衫每天所获得の利润为1050元. （2）y = (x - 30)[20 + 2(70 - x)] = -2x² + 220x - 4800 = -2(x - 55)² + 1250,
∵-2 ＜ 0,
∴ 当x = 55时,y取最大值1250,
∴ 当销售单价为55元时,销售这款文化衫每天所获得の利润最大,最大利润为1250元.