《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

15.(10分)已知关于x的方程$mx^{2}-(m+2)x+2= 0$.
(1)求证：不论m为何值时,方程总有实数根；
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根？

答案：
(1)当$m≠0$时,$b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-8m=m^{2}-4m+4=(m-2)^{2},\because (m-2)^{2}≥0,\therefore b^{2}-4ac≥0$,
∴此时方程有实数根.当$m=0$时,方程为$-2x+2=0$,有实数根,
∴不论m为何值时,方程总有实数根.
(2)解方程得$x=\frac {m+2\pm (m-2)}{2m},\therefore x_{1}=\frac {2}{m},x_{2}=1$.
∵方程有两个不相等的正整数根且m为整数,$\therefore m=1$或2,$m=2$不合题意，$\therefore m=1.$

16.(10分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)若原方程的两个实数根为$x_{1}$、$x_{2}$,且满足$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= |x_{1}|+|x_{2}|+2x_{1}x_{2}$,求m的值.

答案：
(1)
∵一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5=0$有两个不相等的实数根，$\therefore [-2(m+1)]^{2}-4(m^{2}+5)=8m-16＞0$,解得$m＞2$.
(2)
∵原方程的两个实数根为$x_{1}$、$x_{2},\therefore x_{1}+x_{2}=2(m+1),x_{1}\cdot x_{2}=m^{2}+5.\because m＞2,\therefore x_{1}+x_{2}=2(m+1)＞0,x_{1}\cdot x_{2}=m^{2}+5＞0,\therefore x_{1}＞0,x_{2}＞0.\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}=|x_{1}|+|x_{2}|+2x_{1}\cdot x_{2},\therefore 4(m+1)^{2}-2(m^{2}+5)=2(m+1)+2(m^{2}+5)$,即$6m-18=0$,解得$m=3.$

17.(12分)新题型 新定义 如果关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如一元二次方程$x^{2}+x= 0的两个根是x_{1}= 0$,$x_{2}= -1$,则方程$x^{2}+x= 0$是“邻根方程”.
(1)通过计算,判断方程$x^{2}-x-6= 0$是不是“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程$x^{2}-(m-1)x-m= 0$(m是常数)是“邻根方程”,求m的值；
(3)若关于x的方程$ax^{2}+bx+1= 0$(a、b是常数,且$a＞0$)是“邻根方程”,令$t= 12a-b^{2}$,试求t的最大值.

答案：
(1)$x^{2}-x-6=0$,分解因式得$(x-3)(x+2)=0$,解得$x_{1}=3,x_{2}=-2.\because 3≠-2+1,\therefore x^{2}-x-6=0$不是"邻根方程".
(2)将方程变形得$(x-m)(x+1)=0,\therefore x=m$或$x=-1$.
∵方程$x^{2}-(m-1)x-m=0$(m 是常数)是"邻根方程"，$\therefore m=-1+1$或$m=-1-1,\therefore m=0$或-2.
(3)解方程得$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4a}}{2a}$,
∵关于x的方程$ax^{2}+bx+1=0$(a、b 是常数,且$a＞0$)是"邻根方程"，$\therefore \frac {-b+\sqrt {b^{2}-4a}}{2a}-\frac {-b-\sqrt {b^{2}-4a}}{2a}=1,\therefore b^{2}=a^{2}+4a.\because t=12a-b^{2},\therefore t=8a-a^{2}=-(a-4)^{2}+16.\because a＞0$,
∴当$a=4$时,t取得最大值为16.