《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

14. (12分)(上海中考)已知:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边AB、AD上,$BE = DF$,CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.
(1)求证:$\triangle BEC\backsim\triangle BCH$;
(2)如果$BE^{2}= AB\cdot AE$,求证:$AG = DF$.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD = CB,∠D = ∠B,CD//AB.
∵DF = BE,
∴△CDF≌△CBE(SAS),
∴∠DCF = ∠BCE.
∵CD//BH,
∴∠H = ∠DCF,
∴∠BCE = ∠H.又
∵∠B = ∠B,
∴△BEC∽△BCH.
(2)
∵$BE^{2}=AB·AE$,
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{AE}{EB}$.
∵AG//BC,
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AG}{BC}$,
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{AG}{BC}$.
∵DF = BE,BC = AB,
∴BE = AG = DF,即AG = DF.

15. (14分)(武汉中考)如图,正方形ABCD内接于$\odot O$,点E为AB的中点,连接CE交BD于点F,延长CE交$\odot O$于点G,连接BG.
(1)求证:$FB^{2}= FE\cdot FG$;
(2)若$AB = 6$,求FB和EG的长.

答案：
(1)
∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴AD = BC,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠ABD = ∠CGB.又
∵∠EFB = ∠BFG,
∴△BFE∽△GFB,
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{BF}{GF}$,即$BF^{2}=FE·FG$.
(2)
∵点E为AB的中点,
∴AE = BE = 3.
∵四边形ABCD为正方形,
∴CD = AB = AD = 6,$BD=\sqrt{AD^{2}+AB^{2}}=\sqrt{6^{2}+6^{2}}=6\sqrt{2}$,$CE=\sqrt{BC^{2}+BE^{2}}=3\sqrt{5}$.
∵CD//BE,
∴△CDF∽△EBF,
∴$\frac{CD}{EB}=\frac{DF}{FB}=\frac{CF}{EF}=\frac{6}{3}=2$,
∴DF = 2FB,CF = 2EF,
∴3FB = BD = $6\sqrt{2}$,3EF = $3\sqrt{5}$,
∴FB = $2\sqrt{2}$,EF=$\sqrt{5}$.由
(1)得$FG=\frac{FB^{2}}{EF}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$,
∴$EG = FG - EF=\frac{8\sqrt{5}}{5}-\sqrt{5}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.

16. (16分)新趋势 尺规作图 在$\triangle ABC$中,点D是BC边上的一点,点F在AD上,连接BF并延长,交AC于点E.
(1)如图①,若D为BC的中点,$\frac{AE}{EC}= \frac{1}{2}$,求证:$AF = FD$;
(2)尺规作图:在图②中,请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E,使得$\frac{AE}{EC}= \frac{1}{2}$;
(3)如图③,若F为AD的中点,设$\frac{BD}{BC}= m$,$\frac{AE}{AC}= n$,请求出m、n之间的等量关系.

答案：
(1)如图①,过点D作DG//BE交AC于点G.
∵DG//BE,BD = CD,
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{CG}{EG}=1$,
∴EG = CG.
∵EF//DG,
∴$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{EG}$.
∵$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$,EG = GC,
∴$\frac{AE}{EG}=1$,
∴$\frac{AF}{DF}=1$,
∴AF = FD.
(2)如图②,作△ABC的中线AD,再作AD的中点F,连接BF并延长,交AC于点E,点E即是所求.
(3)如图③,过点D作DG//BE交AC于点G.
∵DG//BE,
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{EG}{CE}=m$.由$\frac{AE}{AC}=n$,设AC = a,则AE = an,EC = a - an,EG = m(a - an).
∵EF//DG,
∴$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{EG}=\frac{an}{am(1 - n)}=\frac{n}{m - mn}$.
∵F为AD的中点,
∴$\frac{n}{m - mn}=1$,即$m=\frac{n}{1 - n}$.