《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

19. (8分)(1)(2024·自贡中考)计算:$(\tan 45^{\circ} - 2)^{0}+\vert 2 - 3\vert-\sqrt{9}$;
(2)(2023·滨州中考)先化简,再求值:$\frac{a - 4}{a}÷(\frac{a + 2}{a^{2} - 2a}-\frac{a - 1}{a^{2} - 4a + 4})$,其中a满足$a^{2}-(\frac{1}{4})^{-1}\cdot a+6\cos 60^{\circ}=0$.

答案： $(1)$ 计算$(\tan 45^{\circ} - 2)^{0}+\vert 2 - 3\vert-\sqrt{9}$
解：
- 根据特殊三角函数值$\tan45^{\circ}=1$，任何非零数的$0$次方为$1$，可得$(\tan 45^{\circ} - 2)^{0}=(1 - 2)^{0}=1$（因为$1-2=-1\neq0$）。
- 根据绝对值的性质$\vert 2 - 3\vert=\vert -1\vert = 1$。
- 根据算术平方根的定义$\sqrt{9}=3$。
将以上结果代入原式可得：
$(\tan 45^{\circ} - 2)^{0}+\vert 2 - 3\vert-\sqrt{9}=1 + 1-3=-1$。
$(2)$ 先化简$\frac{a - 4}{a}÷(\frac{a + 2}{a^{2} - 2a}-\frac{a - 1}{a^{2} - 4a + 4})$，再求值
- **步骤一：化简原式
对原式中括号内的式子进行通分：
$a^{2}-2a=a(a - 2)$，$a^{2}-4a + 4=(a - 2)^{2}$。
$\frac{a + 2}{a^{2} - 2a}-\frac{a - 1}{a^{2} - 4a + 4}=\frac{a + 2}{a(a - 2)}-\frac{a - 1}{(a - 2)^{2}}$
$=\frac{(a + 2)(a - 2)-a(a - 1)}{a(a - 2)^{2}}$（通分，分母为$a(a - 2)^{2}$）
$=\frac{a^{2}-4-a^{2}+a}{a(a - 2)^{2}}=\frac{a - 4}{a(a - 2)^{2}}$。
则原式$\frac{a - 4}{a}÷(\frac{a + 2}{a^{2} - 2a}-\frac{a - 1}{a^{2} - 4a + 4})=\frac{a - 4}{a}÷\frac{a - 4}{a(a - 2)^{2}}$。
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，可得：
$\frac{a - 4}{a}×\frac{a(a - 2)^{2}}{a - 4}=(a - 2)^{2}$。
- **步骤二：求$a$的值
已知$a^{2}-(\frac{1}{4})^{-1}\cdot a+6\cos 60^{\circ}=0$。
根据负指数幂$(\frac{1}{4})^{-1}=4$，特殊三角函数值$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，则方程为：
$a^{2}-4a + 6×\frac{1}{2}=0$，即$a^{2}-4a + 3 = 0$。
因式分解得$(a - 1)(a - 3)=0$，解得$a = 1$或$a = 3$。
- **步骤三：代入求值
当$a = 1$时，$(a - 2)^{2}=(1 - 2)^{2}=1$；
当$a = 3$时，$(a - 2)^{2}=(3 - 2)^{2}=1$。
综上，$(1)$的结果为$-1$；$(2)$化简结果为$(a - 2)^{2}$，值为$1$。

20. (8分)(2024·泸州中考)如图,海中有一个小岛C,某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上,该渔船由西向东航行一段时间后到达B点,测得小岛C位于北偏西$30^{\circ}$方向上,再沿北偏东$60^{\circ}$方向继续航行一段时间后到达D点,这时测得小岛C位于北偏西$60^{\circ}$方向上.已知A、C相距30n mile.求C、D间的距离(计算过程中的数据不取近似值).

答案： 作CE⊥AB于点E，如图所示.由题意得∠CAE = 90° - 45° = 45°，∠ECB = 30°，∠ECD = 60°，
∴ △CAE是等腰直角三角形.
∵ AC = 30，
∴ AE = CE = AC·cos45° = 15√2 n mile，在Rt△BCE中，BC = CE/cos30° = 10√6 n mile，在△BCD中，∠CBD = 30° + 60° = 90°，∠DCB = ∠ECD - ∠ECB = 30°，在Rt△BCD中，CD = BC/cos30° = 20√2(n mile).

21. (8分)(2024·达州中考)如图,BD是$\odot O$的直径.四边形ABCD内接于$\odot O$.连接AC,且$AB = AC$,以AD为边作$∠DAF = ∠ACD$交BD的延长线于点F.
(1)求证:AF是$\odot O$的切线;
(2)过点A作$AE\perp BD$交BD于点E.若$CD = 3DE$,求$\cos ∠ABC$的值.

答案： 1. （1）证明：
连接$OA$，$AD$。
因为$AB = AC$，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据圆心角与圆周角的关系，$\angle AOB = 2\angle ACB$，又因为$\angle ADB=\angle ACB$（同弧所对的圆周角相等），所以$\angle AOB = 2\angle ADB$。
因为$OA = OD$，所以$\angle OAD=\angle ODA$，则$\angle AOB=\angle OAD+\angle ODA = 2\angle ODA$。
已知$\angle DAF=\angle ACD$，且$\angle ACD=\angle ABD$（同弧所对的圆周角相等），$\angle ABD=\angle ADB$（$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，同弧所对的圆周角相等）。
因为$BD$是$\odot O$的直径，$\angle BAD = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），$\angle OAF=\angle OAD+\angle DAF$，$\angle OAD=\angle ADB$，$\angle DAF=\angle ADB$，所以$\angle OAF=\angle OAD+\angle DAF=\angle ADB+\angle ABD$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ABD+\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$\angle OAF = 90^{\circ}$。
又因为$OA$是$\odot O$的半径，所以$AF$是$\odot O$的切线。
2. （2）解：
设$DE = x$，因为$CD = 3DE$，所以$CD = 3x$。
因为$\angle ABD=\angle ADB$（$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$），$AE\perp BD$，所以$BE = DE=x$（等腰三角形三线合一）。
因为$\angle BAD=\angle AED = 90^{\circ}$，$\angle ADB=\angle EDA$，所以$\triangle ABD\sim\triangle EAD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
则$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{AD}$，即$AD^{2}=BD\cdot DE$，$BD=BE + ED=2x$，所以$AD^{2}=2x\cdot x = 2x^{2}$，$AD=\sqrt{2}x$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB=\sqrt{BD^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-(\sqrt{2}x)^{2}}=\sqrt{4x^{2}-2x^{2}}=\sqrt{2}x$。
因为$\angle ABC=\angle ADC$（圆内接四边形的外角等于内对角）。
在$Rt\triangle ABD$中，$\cos\angle ADB=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{2}x}{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\cos\angle ABC=\cos\angle ADC=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）$\cos\angle ABC$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。