《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

18. 在矩形ABCD中,点E、F分别是BC、AD的中点,连接AE、DE、BD、BF得到如图所示的图形,现随机地向该图形内掷一枚小针,记针尖落在阴影区域的概率为$P_1$,针尖落在矩形ABCD内的概率为$P_2$,则$\frac{P_1}{P_2}= $$\frac{1}{2}$.

答案： 1. 首先，设矩形$ABCD$的长$AB = a$，宽$AD = b$：
则矩形$ABCD$的面积$S_{矩形ABCD}=ab$。
因为点$E$、$F$分别是$BC$、$AD$的中点，所以$AF = FD=\frac{1}{2}AD=\frac{b}{2}$，$BE = EC=\frac{1}{2}BC=\frac{b}{2}$。
2. 然后，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）：
$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AB\cdot BE=\frac{1}{2}a\cdot\frac{b}{2}=\frac{1}{4}ab$，$S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}AB\cdot AF=\frac{1}{2}a\cdot\frac{b}{2}=\frac{1}{4}ab$，$S_{\triangle DCE}=\frac{1}{2}DC\cdot CE=\frac{1}{2}a\cdot\frac{b}{2}=\frac{1}{4}ab$。
又因为$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}ab$（矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分），$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}AD\cdot AB=\frac{1}{2}ab$。
设$S_{\triangle AOB}=S_1$（$O$为$AE$与$BF$的交点，$D$为$DE$与$BD$的交点）。
由$S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ABF}=S_{\triangle ABD}+S_1$（$S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ABF}$中$S_1$被重复计算一次），可得$\frac{1}{4}ab+\frac{1}{4}ab=\frac{1}{2}ab + S_1$，$S_1 = 0$（这种方法不好，换一种方法）。
利用等 - 面积法：
因为$F$是$AD$中点，$E$是$BC$中点，$AD = BC$，$AD// BC$，所以$AF = BE$且$AF// BE$，则四边形$ABEF$是平行四边形，$S_{\triangle ABF}=S_{\triangle BEF}$。
同理，$S_{\triangle DCE}=S_{\triangle DEF}$。
又因为$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}$。
我们可以通过计算阴影部分面积$S_{阴}$：
$S_{阴}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABF}+S_{\triangle BCD}-S_{\triangle DCE}$。
因为$S_{\triangle ABF}=\frac{1}{4}ab$，$S_{\triangle DCE}=\frac{1}{4}ab$，$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}ab$。
$S_{阴}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{4}ab+\frac{1}{2}ab - \frac{1}{4}ab=\frac{1}{2}ab$。
3. 最后，根据概率公式$P=\frac{m}{n}$（$m$是事件$A$发生的区域面积，$n$是总区域面积）：
已知$P_1=\frac{S_{阴}}{S_{矩形ABCD}}$，$P_2 = 1$（针尖落在矩形$ABCD$内是必然事件）。
因为$S_{阴}=\frac{1}{2}ab$，$S_{矩形ABCD}=ab$，所以$\frac{P_1}{P_2}=\frac{\frac{S_{阴}}{S_{矩形ABCD}}}{1}$。
把$S_{阴}=\frac{1}{2}ab$，$S_{矩形ABCD}=ab$代入得$\frac{P_1}{P_2}=\frac{1}{2}$。
故答案为$\frac{1}{2}$。

19. (10分)一个不透明的口袋中放着12个红球和若干个黑球,这两种球除了颜色之外没有其他任何区别,袋中的球已经搅匀,闭眼从口袋中摸出一个球,经过很多次试验发现摸到红球的频率逐渐稳定在$\frac{2}{5}$.
(1)估计摸到红球的概率是$\frac{2}{5}$;
(2)又放入n个黑球,再经过很多次试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在$\frac{2}{3}$,求n的值.
解：设口袋中原有黑球$x$个，由题意得：
$\frac{12}{12+x}=\frac{2}{5}$
解得$x=18$
经检验，$x=18$是原方程的解
放入$n$个黑球后，球的总数为$12+18+n=30+n$个，黑球有$18+n$个
由题意得：$\frac{18+n}{30+n}=\frac{2}{3}$
解得$n=6$
经检验，$n=6$是原方程的解
答：$n$的值为6

答案：
(1)$\frac{2}{5}$
(2)解：设口袋中原有黑球$x$个，由题意得：
$\frac{12}{12+x}=\frac{2}{5}$
解得$x=18$
经检验，$x=18$是原方程的解
放入$n$个黑球后，球的总数为$12+18+n=30+n$个，黑球有$18+n$个
由题意得：$\frac{18+n}{30+n}=\frac{2}{3}$
解得$n=6$
经检验，$n=6$是原方程的解
答：$n$的值为6

20. (10分)小明和小亮利用三张卡片做游戏,卡片上分别写有A、B、B.这些卡片除字母外完全相同,从中随机摸出一张,记下字母后放回,充分洗匀后,再从中摸出一张,若两次摸到卡片字母相同则小明获胜,否则小亮获胜,这个游戏对双方公平吗? 请说明理由.

答案： 解：这个游戏对双方不公平。
理由如下：
列表如下：
|第一次/第二次|A|B|B|
|----|----|----|----|
|A|(A,A)|(A,B)|(A,B)|
|B|(B,A)|(B,B)|(B,B)|
|B|(B,A)|(B,B)|(B,B)|
共有9种等可能的结果，其中两次摸到卡片字母相同的结果有5种：(A,A)、(B,B)、(B,B)、(B,B)、(B,B)，两次摸到卡片字母不同的结果有4种：(A,B)、(A,B)、(B,A)、(B,A)。
P(小明获胜)=5/9，P(小亮获胜)=4/9。
因为5/9≠4/9，所以这个游戏对双方不公平。

21. (10分)近视镜镜片的焦距y(单位:米)是镜片的度数x(单位:度)的函数,下表记录了一组数据:
|x|…|100|250|400|500|…|
|y|…|1.00|0.40|0.25|0.20|…|
(1)在下列函数中,符合上述表格中所给数据的是B;
A. $y= \frac{1}{100}x$ B. $y= \frac{100}{x}$ C. $y= -\frac{1}{200}x+\frac{3}{2}$ D. $y= \frac{x^2}{40000}-\frac{13}{800}x+\frac{19}{8}$
(2)利用(1)中的结论计算:当镜片的度数为200度时,镜片的焦距约为多少米.
解：由(1)知，函数关系式为$y = \frac{100}{x}$。
当$x = 200$时，$y=\frac{100}{200}=0.5$
答：镜片的焦距约为0.5米。

答案：
(1)B
(2)解：由
(1)知，函数关系式为$y = \frac{100}{x}$。
当$x = 200$时，$y=\frac{100}{200}=0.5$
答：镜片的焦距约为0.5米。