《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

6. 已知二次函数 $ y _ { 1 } = a ( x - m ) ( x - n ) $ 与一次函数 $ y _ { 2 } = k x - k m $. 若函数 $ y = y _ { 1 } + y _ { 2 } $ 的图像与 $ x $ 轴只有一个公共点,则 (B)
A.$ a ( m - n ) = k $
B.$ a ( n - m ) = k $
C.$ k ( m - n ) = a $
D.$ k ( n - m ) = a $

答案： B

7. 若 $ \frac { x } { y } = \frac { 2 } { 3 } $,则 $ \frac { x } { x + y } = $$\frac{2}{5}$.

答案： $\frac{2}{5}$

8. 二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 $ 的图像的顶点坐标是(0,-2).

答案： (0,-2)

9. 已知点 $ P $ 是线段 $ A B $ 的黄金分割点 $ ( A P ＞ B P ) $,如果 $ A B = 2 $,那么 $ A P $ 的长为-1 + $\sqrt{5}$.

答案： -1 + $\sqrt{5}$

10. 一元二次方程 $ x ^ { 2 } + m x + 2 m = 0 $ 的两个实根分别为 $ x _ { 1 } $、$ x _ { 2 } $,若 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 1 $,则 $ x _ { 1 } x _ { 2 } = $-2.

答案： -2

11. 用半径为 30 cm,圆心角为 $ 120 ^ { \circ } $ 的扇形纸片恰好围成一个圆锥侧面,则圆锥底面圆的半径为10cm.

答案： 10

12. 如图,$ \odot O $ 是正五边形 $ A B C D E $ 的外接圆,点 $ P $ 是 $ \overgroup { A E } $ 上的一点,则 $ \angle C P D $ 的度数是36°.

答案： 36°

13. 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ A C = B C = 2 A B $,$ D $ 是 $ B C $ 上一点,且 $ A B = A D $. 若 $ B D = 1 $,则 $ A B $ 的长为______2.

答案： 2

14. 如图,在四边形 $ A B C D $ 中,$ A D // E F // B C $,$ \angle A = 90 ^ { \circ } $,$ \frac { A E } { E B } = \frac { 1 } { 2 } $. 若 $ A D = 3 $,$ B C = 6 $,则 $ \frac { S _ { 四边形 A E F D } } { S _ { 四边形 E B C F } } = $$\frac{7}{20}$.

答案： $\frac{7}{20}$

15. 已知抛物线 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 与 $ x $ 轴的交点坐标分别为 $ ( 1, 0 ) $、$ ( m, 0 ) $. 若 $ - 4 ＜ b ＜ 1 $,则 $ m $ 的取值范围是-2 ＜ m ＜ 3.

答案： -2 ＜ m ＜ 3

16. 如图,在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中,$ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $,$ B C = 2 $,$ A C = 4 $,$ D $ 是 $ A B $ 的中点,连接 $ C D $,过点 $ D $ 作 $ D E \perp C D $ 交 $ A C $ 于点 $ E $. 将 $ \triangle A D E $ 沿直线 $ D E $ 翻折,点 $ A $ 落在 $ F $ 处,$ D F $ 交 $ A C $ 于点 $ G $,则 $ C G $ 的长为$\frac{20}{11}$.

答案： $\frac{20}{11}$

17. (8 分) 解方程.
(1) $ x ^ { 2 } + 4 x - 5 = 0 $；
(2) $ 3 x ( x - 2 ) = x - 2 $.

答案：
(1)方法1：x² + 4x + 4 - 4 - 5 = 0，
∴(x + 2)² = 9，
∴x + 2 = ±3，
∴x₁ = 1，x₂ = -5。
方法2：
∵a = 1，b = 4，c = -5，
∴b² - 4ac = 4² - 4×1×(-5) = 36，
∴x = $\frac{-4 ± \sqrt{36}}{2×1}$ = $\frac{-4 ± 6}{2}$，
∴x₁ = 1，x₂ = -5。
方法3：原式可化为(x - 1)(x + 5) = 0，
∴x - 1 = 0或x + 5 = 0，
∴x₁ = 1，x₂ = -5。
(2)方法1：3x(x - 2) - (x - 2) = 0，
∴(3x - 1)(x - 2) = 0，
∴3x - 1 = 0，x - 2 = 0，
∴x₁ = $\frac{1}{3}$，x₂ = 2。
方法2：3x(x - 2) - (x - 2) = 0，
∴3x² - 7x + 2 = 0。
∵a = 3，b = -7，c = 2，
∴b² - 4ac = (-7)² - 4×3×2 = 25，
∴x = $\frac{7 ± \sqrt{25}}{2×3}$ = $\frac{7 ± 5}{6}$，
∴x₁ = $\frac{1}{3}$，x₂ = 2。