《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23. (10分)(2024·北京模拟)如图为正方形网格,每一个正方形的边长均为1.
(1)$∠BAC的邻补角为∠DAC$,写出$tan∠DAC$的值,并证明;
(2)若$∠A$、$∠B均为小于45^{\circ }的锐角(∠A≤∠B)$,且$tan(A+B)= 1$,请直接写出两组符合要求的$tanA和tanB$.
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答案：
(1)tan∠DAC = 1,证明如下:如图①所示,过点B作BH⊥CA交CA延长线于H,由网格的特点和勾股定理得AC = $\sqrt{1^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{10}$,BC = 5,AB = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}$ = $\sqrt{5}$.
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}×5×1$,
∴$\frac{\sqrt{10}}{2}BH=\frac{5}{2}$,
∴BH = $\frac{\sqrt{10}}{2}$,
∴AH = $\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}$ = $\frac{\sqrt{10}}{2}$,
∴tan∠BAH = $\frac{BH}{AH}$ = 1.
∵∠BAC的邻补角为∠DAC,
∴∠BAC + ∠DAC = 180° = ∠BAC + ∠BAH,
∴∠DAC = ∠BAH,
∴tan∠DAC = tan∠BAH = 1.
(2)tanA = $\frac{1}{3}$,tanB = $\frac{1}{2}$或tanA = $\frac{1}{4}$,tanB = $\frac{3}{5}$(答案不唯一)

24. (10分)(2024·呼和浩特中考)实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装置,安装要求为试管口略向下倾斜,铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图,已知试管$AB= 24cm,BE= \frac {1}{3}AB$,试管倾斜角$∠ABG为12^{\circ }$.
(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度;(结果用含非特殊角的三角函数表示)
(2)实验时,导气管紧靠水槽壁MN,延长BM交CN的延长线于点F,且$MN⊥CF$于点N(点C、D、N、F在一条直线上),经测得:$DE= 28cm,MN= 8cm,∠ABM= 147^{\circ }$,求线段DN的长度.(结果用含非特殊角的三角函数表示)
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答案：
(1)
∵AB = 24cm,BE = $\frac{1}{3}$AB,
∴BE = 8cm,由题意可知,BG⊥DE,在Rt△BEG中,∠ABG = 12°,
∴BG = BE·cos∠ABG = 8cos12°cm.
(2)如图,过点B作BP⊥CF于点P,过点M作MQ⊥BP于点Q,则四边形BPDG和四边形MNPQ都是矩形,
∴∠PBG = 90°,DP = BG = 8cos12°cm,BP = DG,PQ = MN = 8cm,PN = QM.
在Rt△BEG中,∠ABG = 12°,BE = 8cm,
∴EG = BE·sin∠ABG = 8sin12°cm.
∵DE = 28cm,
∴BP = DG = DE - EG = (28 - 8sin12°)cm,
∴BQ = BP - PQ = (20 - 8sin12°)cm.
∵∠ABM = 147°,∠ABG = 12°,∠PBG = 90°,
∴∠MBQ = 45°,
∴Rt△BMQ是等腰直角三角形,
∴QM = BQ = (20 - 8sin12°)cm.
∴DN = DP + PN = DP + QM = (8cos12° + 20 - 8sin12°)cm.