《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

6. (2024·赤峰中考)在平面直角坐标系中,对于点$M(x_{1},y_{1})$,给出如下定义：当点$N(x_{2},y_{2})$,满足$x_{1}+x_{2}= y_{1}+y_{2}$时,称点$N是点M$的等和点。
(1)已知点$M(1,3)$,在$N_{1}(4,2)$,$N_{2}(3,-1)$,$N_{3}(0,-2)$中,是点$M$等和点的有______$N_{1}(4,2)$和$N_{3}(0,-2)$；
(2)若点$M(3,-2)的等和点N在直线y = x + b$上,求$b$的值；5
(3)已知双曲线$y_{1}= \frac{k}{x}和直线y_{2}= x - 2$,满足$y_{1}\lt y_{2}的x取值范围是x\gt4或-2\lt x\lt0$。若点$P在双曲线y_{1}= \frac{k}{x}$

上

,点$P的等和点Q在直线y_{2}= x - 2$上,求点$P$的坐标。$(-4,-2)$或$(2,4)$

答案：
(1)$N_{1}(4,2)$和$N_{3}(0,-2)$ 【解析】由$M(1,3)$，$N_{1}(4,2)$得，$x_{1}+x_{2}=y_{1}+y_{2}=5$，
∴点$N_{1}(4,2)$是点$M$的等和点；由$M(1,3)$，$N_{2}(3,-1)$得，$x_{1}+x_{2}=4$，$y_{1}+y_{2}=2$，
∵$x_{1}+x_{2}\neq y_{1}+y_{2}$，
∴$N_{2}(3,-1)$不是点$M$的等和点；由$M(1,3)$，$N_{3}(0,-2)$得，$x_{1}+x_{2}=y_{1}+y_{2}=1$，
∴$N_{3}(0,-2)$是点$M$的等和点。
(2)设点$N$的横坐标为$a$，
∵点$N$是点$M(3,-2)$的等和点，
∴点$N$的纵坐标为$3+a-(-2)=a+5$，
∴点$N$的坐标为$(a,a+5)$，
∵点$N$在直线$y=x+b$上，
∴$a+5=a+b$，
∴$b=5$。
(3)由题意可得，$k＞0$，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点$A$，$B$，如图，由$y_{1}＜y_{2}$时$x$的取值范围是$x＞4$或$-2＜x＜0$，可得点$A$的横坐标为4，点$B$的横坐标为-2，把$x=4$代入$y_{2}=x-2$得，$y_{2}=4-2=2$，
∴$A(4,2)$，把$A(4,2)$代入$y_{1}=\frac{k}{x}$得，$2=\frac{k}{4}$，
∴$k=8$，
∴反比例函数表达式为$y_{1}=\frac{8}{x}$，设$P\left(m,\frac{8}{m}\right)$，点$Q$的横坐标为$n$，
∵点$Q$是点$P$的等和点，
∴点$Q$的纵坐标为$m+n-\frac{8}{m}$，
∴$Q\left(n,m+n-\frac{8}{m}\right)$，
∵点$Q$在直线$y_{2}=x-2$上，
∴$m+n-\frac{8}{m}=n-2$，整理得，$m-\frac{8}{m}+2=0$，去分母得$m^{2}+2m-8=0$，解得$m_{1}=-4$，$m_{2}=2$，经检验，$m=-4$，$m=2$是原方程的解，
∴点$P$的坐标为$(-4,-2)$或$(2,4)$。

7. (2024·兰州中考)在平面直角坐标系$xOy$中,给出如下定义：点$P是图形W$外一点,点$Q在PO$的延长线上,使得$\frac{PO}{QO}= \frac{1}{2}$,如果点$Q在图形W$上,则称点$P是图形W$的“延长 2 分点”,例如：如图①,$A(2,4)$,$B(2,2)$,$P(-1,-\frac{3}{2})是线段AB$外一点,$Q(2,3)在PO$的延长线上,且$\frac{PO}{QO}= \frac{1}{2}$,因为点$Q在线段AB$上,所以点$P是线段AB$的“延长 2 分点”。
(1)如图①,已知图形$W_{1}$：线段$AB$,$A(2,4)$,$B(2,2)$,在$P_{1}(-\frac{5}{2},-1)$,$P_{2}(-1,-1)$,$P_{3}(-1,-2)$中,______是图形$W_{1}$的“延长 2 分点”；
(2)如图②,已知图形$W_{2}$：线段$BC$,$B(2,2)$,$C(5,2)$,若直线$MN:y = -x + b上存在点P是图形W_{2}$的“延长 2 分点”,求$b$的最小值；
(3)如图③,已知图形$W_{3}$：以$T(t,1)$为圆心,半径为 1 的$\odot T$,若以$D(-1,-2)$,$E(-1,1)$,$F(2,1)为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P$,使得点$P是图形W_{3}$的“延长 2 分点”。请直接写出$t$的取值范围。
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答案：

(1)$P_{2}$，$P_{3}$ 【解析】作线段$AB$以原点为位似中心，位似比为$2:1$的位似图形$A'B'$，如图①，
∵$A(2,4)$，$B(2,2)$，
∴$A'(-1,-2)$，$B'(-1,-1)$，
∵点$P$是图形$W_{1}$的“延长2分点”，
∴点$P$在线段$A'B'$上，
∵$P_{2}(-1,-1)$，$P_{3}(-1,-2)$在线段$A'B'$上，
∴$P_{2}$，$P_{3}$是图形$W_{1}$的“延长2分点”。

(2)作$BC$以原点为位似中心，位似比为$2:1$的位似图形$B'C'$，如图②，
∵$B(2,2)$，$C(5,2)$，
∴$B'(-1,-1)$，$C'\left(-\frac{5}{2},-1\right)$，
∵直线$MN:y=-x+b$上存在点$P$是图形$W_{2}$的“延长2分点”，
∴直线$MN:y=-x+b$与$B'C'$有交点，
∴当$MN:y=-x+b$过点$C'$时，$b$最小，把$C'\left(-\frac{5}{2},-1\right)$代入$y=-x+b$，得$b=-\frac{7}{2}$，
∴$b$的最小值为$-\frac{7}{2}$。
(3)$1\leq t\leq3$或$-1-\sqrt{2}\leq t\leq\sqrt{2}-1$ 【解析】作$\triangle DEF$以原点为位似中心，位似比为$1:2$的位似$\triangle D'E'F'$，
∵$D(-1,-2)$，$E(-1,1)$，$F(2,1)$，
∴$D'(2,4)$，$E'(2,-2)$，$F'(-4,-2)$，
∵等腰直角三角形$DEF$上存在点$P$，使得点$P$是图形$W_{3}$的“延长2分点”，
∴当$W_{3}$与$\triangle D'E'F'$有交点时，满足题意，当$\odot T$与$D'E'$相切时，如图③，则$t=1$或$t=3$，
∴$1\leq t\leq3$时，满足题意；当$\odot T$与$D'F'$相切时，且切点为$G$，连接$TG$，如图④，⑤，则$\angle TGE=90^{\circ}$，
∵$\triangle DEF$为等腰直角三角形，
∴$\triangle D'E'F'$为等腰直角三角形，
∵$E(-1,1)$，$F(2,1)$，$E'(2,-2)$，$F'(-4,-2)$，
∴$EF// E'F'// x$轴，
∴$\angle D'F'E'=45^{\circ}$，
∵$\odot T$以$T(t,1)$为圆心，1为半径，
∴点$T$在直线$EF$上，$TG=1$，
∴$\angle TEG=\angle D'F'E'=45^{\circ}$，
∴$ET=\sqrt{2}TG=\sqrt{2}$，
∴$t=-1-\sqrt{2}$或$t=\sqrt{2}-1$，
∴$-1-\sqrt{2}\leq t\leq\sqrt{2}-1$。综上，$1\leq t\leq3$或$-1-\sqrt{2}\leq t\leq\sqrt{2}-1$。