《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

25. (12分)(2024·宿迁期中)规定:我们用$F(a,b,c)表示一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0$,用数组$(x_{1},x_{2})$表示一元二次方程的两个解(其中$x_{1}\leq x_{2}$),当$b^{2}-4ac\geq0$时,$F(a,b,c)唯一对应一个数组(x_{1},x_{2})$,可记作:$F(a,b,c)\subset(x_{1},x_{2})$.如方程:$x^{2}+2x - 3 = 0$的两个解分别为1,-3;则有$F(1,2,-3)\subset(-3,1)$,又如$F(2,0,-8)\subset(-2,2),F(1,10,25)\subset(-5,-5)$,反之,当数组$(x_{1},x_{2})$确定时,却有无数个一元二次方程与之对应,如方程$F(1,0,-4)和F(2,0,-8)$的解都是(-2,2),则称方程$F(1,0,-4)和F(2,0,-8)$为同解方程,记作方程$F(1,0,-4)= F(2,0,-8)$.研究发现:当$m\neq0$时,总有$F(a,b,c)= F(ma,mb,mc)$成立.
(1)若$F(1,-2,a)\subset(-2,4)$,则$a = $-8,若$F(3,1,b)= F(15,c,5b)$,则$c = $5.
(2)若$F(1,-2,t - 1)\subset(m,n)$,且$|m|+|n|= 6$,求$t$的值.
由F(1,-2,t-1)⊂(m,n)知,m、n是一元二次方程x²-2x+t-1=0的两个实数解,且m≤n.∴m+n=2,mn=t-1.∵|m|+|n|=6,当m、n全为正或全为负时,|m|+|n|=±(m+n)=±2与m+n=2矛盾,∴m＜0＜n,∴|m|+|n|=-m+n=6,则有(n-m)²=36,即(m+n)²-4mn=36,∴4-4(t-1)=36,解得t=-7.
(3)如果实数$a$、$b$、$c$、$d满足a\neq c,F(1,-3a,-4b)\subset(c,d),F(1,-3c,-4d)\subset(a,b)$,探究$k = a + b + c + d$是否为定值?如果是,请求出$k$的值,如果不是,请说明理由.
k=a+b+c+d是定值.∵F(1,-3a,-4b)⊂(c,d),F(1,-3c,-4d)⊂(a,b),∴c、d是方程x²-3ax-4b=0的两个实数解,a、b是方程x²-3cx-4d=0的两个实数解,由根与系数的关系得c+d=3a,cd=-4b;a+b=3c,ab=-4d,∴a+b+c+d=3a+3c,abcd=16bd,∴b+d=2(a+c),ac=16.∵c是x²-3ax-4b=0的解,∴c²-3ac-4b=0,即c²-4b=48;a是方程x²-3cx-4d=0的解,∴a²-3ac-4d=0,即a²-4d=48.∴a²+c²-4(b+d)=96,即a²+c²-8(a+c)=96,∴(a+c)²-2ac-8(a+c)=96,整理得(a+c)²-8(a+c)-128=0,解得a+c=16或a+c=-8.∵当ac=16,a+c=-8时,a、c是方程m²+8m+16=0的两个实数解,解得m₁=m₂=-4,即a=c,这与题设a≠c矛盾,∴a+c=16,∴k=a+b+c+d=3(a+c)=48,∴k为定值48.

答案：
(1)-8 5 【解析】由题意知,-2与4是一元二次方程x²-2x+a=0的两个实数解,由根与系数的关系得a=-2×4=-8;当m≠0时,总有F(a,b,c)=F(ma,mb,mc),而F(3,1,b)=F(15,c,5b).
∴$\frac{15}{3}$=c,
∴c=5.
(2)由F(1,-2,t-1)⊂(m,n)知,m、n是一元二次方程x²-2x+t-1=0的两个实数解,且m≤n.
∴m+n=2,mn=t-1.
∵|m|+|n|=6,当m、n全为正或全为负时,|m|+|n|=±(m+n)=±2与m+n=2矛盾,
∴m＜0＜n,
∴|m|+|n|=-m+n=6,则有(n-m)²=36,即(m+n)²-4mn=36,
∴4-4(t-1)=36,解得t=-7.
(3)k=a+b+c+d是定值.
∵F(1,-3a,-4b)⊂(c,d),F(1,-3c,-4d)⊂(a,b),
∴c、d是方程x²-3ax-4b=0的两个实数解,a、b是方程x²-3cx-4d=0的两个实数解,由根与系数的关系得c+d=3a,cd=-4b;a+b=3c,ab=-4d,
∴a+b+c+d=3a+3c,abcd=16bd,
∴b+d=2(a+c),ac=16.
∵c是x²-3ax-4b=0的解,
∴c²-3ac-4b=0,即c²-4b=48;a是方程x²-3cx-4d=0的解,
∴a²-3ac-4d=0,即a²-4d=48.
∴a²+c²-4(b+d)=96,即a²+c²-8(a+c)=96,
∴(a+c)²-2ac-8(a+c)=96,整理得(a+c)²-8(a+c)-128=0,解得a+c=16或a+c=-8.
∵当ac=16,a+c=-8时,a、c是方程m²+8m+16=0的两个实数解,解得m₁=m₂=-4,即a=c,这与题设a≠c矛盾,
∴a+c=16,
∴k=a+b+c+d=3(a+c)=48,
∴k为定值48.