《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

25. (12分)【问题背景】由光的反射定律知:反射角等于入射角(如图①,即$∠CEF= ∠AEF$).小军测量某建筑物高度的方法如下:在地面点E处平放一面镜子,经调整自己位置后,在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A.经测得,小军的眼睛离地面的距离$CD= 1.7m,BE= 20m,DE= 2m$,求建筑物AB的高度.

【活动探究】
观察小军的操作后,小明提出了一个测量广告牌高度的做法(如图②):他让小军站在点D处不动,将镜子移动至$E_{1}$处,小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出$DE_{1}= 2m$;再将镜子移动至$E_{2}$处,恰好通过镜子看到广告牌的底端A,测出$DE_{2}= 3.4m$.经测得,小军的眼睛离地面距离$CD= 1.7m,BD= 10m$,求这个广告牌AG的高度.

【应用拓展】
小军和小明讨论后,发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度.他们给出了如下测量步骤(如图③):①让小军站在斜坡的底端D处不动(小军眼睛离地面距离$CD= 1.7m$),小明通过移动镜子(镜子平放在坡面上)位置至E处,让小军恰好能看到塔顶B;②测出$DE= 2.8m$;③测出坡长$AD= 17m$;④测出坡比为$8:15$(即$tan∠ADG= \frac {8}{15}$).通过他们给出的方案,请你算出信号塔AB的高度.(结果保留整数)
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答案： [问题背景]
∵∠CEF = ∠AEF,AB⊥BD,FE⊥BD,CD⊥BD,
∴∠AEB = ∠CED,∠B = ∠D = 90°,
∴△ABE∽△CDE,
∴$\frac{AB}{BE}$ = $\frac{CD}{DE}$.
∵CD = 1.7m,BE = 20m,DE = 2m,
∴$\frac{AB}{20}$ = $\frac{1.7}{2}$,解得AB = 17m.
[活动探究]
∵GB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠B = ∠D = 90°.
∵∠GE₁B = ∠CE₁D,
∴△GBE₁∽△CDE₁,
∴$\frac{GB}{BE₁}$ = $\frac{CD}{DE₁}$.
∵DE₁ = 2m,BD = 10m,
∴BE₁ = BD - DE₁ = 10 - 2 = 8(m).
∵CD = 1.7m,
∴$\frac{GB}{8}$ = $\frac{1.7}{2}$,解得GB = 6.8m.
∵GB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠B = ∠D = 90°.
∵∠AE₂B = ∠CE₂D,
∴△ABE₂∽△CDE₂,
∴$\frac{AB}{BE₂}$ = $\frac{CD}{DE₂}$.
∵DE₂ = 3.4m,BD = 10m,
∴BE₂ = BD - DE₂ = 10 - 3.4 = 6.6(m).
∵CD = 1.7m,
∴$\frac{AB}{6.6}$ = $\frac{1.7}{3.4}$,解得AB = 3.3m,
∴AG = GB - AB = 6.8 - 3.3 = 3.5(m).
[应用拓展]如图,过点B作BM⊥AD交DA的延长线于点M,过点C作CN⊥AD于点N.由题意得BG⊥DG,CD⊥DG,
∴∠AGD = ∠CDG = ∠BMA = ∠CND = 90°.
∵∠BAM = ∠GAD,
∴90° - ∠BAM = 90° - ∠GAD,即∠ABM = ∠ADG.
∵∠ADG + ∠DAG = 90°,∠ADG + ∠CDN = 90°,
∴∠CDN = ∠DAG,
∴90° - ∠CDN = 90° - ∠DAG,即∠DCN = ∠ADG,
∴∠DCN = ∠ADG = ∠ABM,
∴△DCN∽△ABM,
∴$\frac{AM}{DN}$ = $\frac{AB}{CD}$.
由题意得AE = AD - DE = 17 - 2.8 = 14.2(m).
∵tan∠ADG = $\frac{8}{15}$,
∴tan∠DCN = $\frac{DN}{CN}$ = $\frac{8}{15}$,tan∠ABM = $\frac{AM}{BM}$ = $\frac{8}{15}$,设DN = a m,AM = b m,则CN = $\frac{15a}{8}$m,BM = $\frac{15b}{8}$m.
∵$CN^{2}+DN^{2}=CD^{2}$,
∴$(\frac{15a}{8})^{2}+a^{2}=1.7^{2}$,解得a = 0.8(负值已舍去),
∴EN = DE - DN = 2.8 - 0.8 = 2(m),CN = $\frac{15×0.8}{8}$ = 1.5(m),
∴$\frac{b}{0.8}$ = $\frac{AB}{1.7}$,
∴AB = $\frac{17b}{8}$m.
同[问题背景]可得△BME∽△CNE,
∴$\frac{BM}{CN}$ = $\frac{EM}{EN}$,
∴$\frac{\frac{15b}{8}}{1.5}$ = $\frac{14.2 + b}{2}$,解得b = $\frac{142}{15}$,
∴AB = $\frac{17}{8}×\frac{142}{15}\approx20$(m).