《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

24. (7 分) 对于三个不相等的实数 $ a $、$ b $、$ c $,我们规定符号 $ \max \{ a, b, c \} $ 表示 $ a $、$ b $、$ c $ 中的最大值,如：$ \max \{ - 1, 0, 2 \} = 2 $.
(1) 若 $ \max \{ 1, 2 x, x ^ { 2 } + 3 \} = 7 $,求 $ x $ 的值；
(2) 当 $ 0 ＜ x ＜ 1 $ 时,$ \max \{ x, k x + 1, x ^ { 2 } \} = k x + 1 $,直接写出 $ k $ 的取值范围.

答案：
(1)
∵max{1,2x,x² + 3} = 7，
∴2x = 7或x² + 3 = 7。当2x = 7时，x = $\frac{7}{2}$，则x² + 3 = $\frac{49}{4}$ + 3 = $\frac{61}{4}$ ＞ 7，不合题意；当x² + 3 = 7时，x = 2或 - 2，则x = 2时，2x = 4 ＜ 7，x = - 2时，2x = - 4 ＜ 7，符合题意，
∴若max{1,2x,x² + 3} = 7，则x的值为2或 - 2。
(2)k ≥ 0

25. (8 分) 如图,四边形 $ A B C D $ 是 $ \odot O $ 的内接四边形,过点 $ A $ 作 $ \odot O $ 的切线交 $ C D $ 的延长线于点 $ E $,$ B C // A E $.
(1) 求证：$ A B = A C $；
(2) 求证：$ \triangle A D E \backsim \triangle B D A $；
(3) 若 $ A C \perp B D $,$ B C = 4 $,$ C D = \sqrt { 5 } $,则 $ A E $ 的长为______$\frac{30}{11}$.

答案：
(1)连接AO，并延长交BC于点F，如图①。
∵AE是⊙O的切线，
∴AF⊥AE，即∠EAF = 90°。
∵BC//AE，
∴∠AFC = 90°，即AF⊥BC，
∴弧AC = 弧AB，
∴AB = AC。
(2)
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°，∠BAD + ∠BCD = 180°。
∵∠ADE + ∠ADC = 180°，
∴∠ABC = ∠ADE。
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB。
∵∠BDA = ∠ACB，
∴∠ADE = ∠BDA。
∵BC//AE，
∴∠E + ∠BCD = 180°，
∴∠E = ∠BAD。在△ADE和△BDA中，
∵∠ADE = ∠BDA，∠E = ∠BAD，
∴△ADE∽△BDA。
(3)$\frac{30}{11}$

26. (9 分) 已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 的图像经过 $ ( 2, 1 ) $、$ ( - 1, - 2 ) $ 两点,对称轴为直线 $ x = m $.
(1) 该函数的图像与 $ x $ 轴的公共点的个数是 (C)
A. 0
B. 1
C. 2
(2) 当 $ a ＞ 0 $ 时,试说明 $ m ＜ \frac { 1 } { 2 } $.
根据题意，将点(2,1)、(-1,-2)代入函数可得：$\begin{cases}4a + 2b + c = 1 \\a - b + c = -2\end{cases}$两式相减消去c可得：$3a + 3b = 3$，即$b = 1 - a$，∴抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = \frac{a - 1}{2a} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2a}$。∵$a ＞ 0$，∴$\frac{1}{2a}＞0$，则$x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2a}＜\frac{1}{2}$。∵对称轴为直线$x = m$，∴$m ＜ \frac{1}{2}$。
(3) 若点 $ A ( - 2, y _ { 1 } ) $、$ B ( 0, y _ { 2 } ) $ 都在该函数的图像上. 当 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $ 时,结合函数的图像,直接写出 $ m $ 的取值范围.m ＜ -1或m ＞ $\frac{1}{2}$

答案：
(1)C
(2)根据
(1)得b = 1 - a，
∴抛物线的对称轴为直线x = - $\frac{b}{2a}$ = $\frac{a - 1}{2a}$ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{2a}$。
∵a ＞ 0，
∴x ＜ $\frac{1}{2}$。
∵对称轴为直线x = m，
∴m ＜ $\frac{1}{2}$。
(3)m ＜ -1或m ＞ $\frac{1}{2}$