《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

4. (2024·广东中考)综合与实践。
【主题】滤纸与漏斗。

【素材】如图①所示：
①一张直径为 $10\ \text{cm}$ 的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为 $7\ \text{cm}$ 的圆锥形过滤漏斗。
【实践操作】
步骤 1：取一张滤纸；

步骤 2：按如图②所示步骤折叠好滤纸；
步骤 3：将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤 4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中。
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)? 用你所学的数学知识说明。
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积。(结果保留 $\pi$)

答案：

(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下，方法一：如图①，由题意知，AB = AC = BC = 7 cm，折叠后CD = CE = $\frac{1}{2}$×10 = 5(cm)，
∵ 底面周长 = $\frac{1}{2}$×10π = 5π(cm)，
∴ DE·π = 5π cm，
∴ $\frac{DE}{AB}$ = $\frac{CD}{CA}$ = $\frac{CE}{CB}$，
∴ △CDE∽△CAB，
∴ 滤纸能紧贴此漏斗内壁.
　　　　　　　
方法二：由2πr = $\frac{nπR}{180}$得，$\frac{n}{360}$ = $\frac{r}{R}$，图②中，n₁ = 90°×2 = 180°，图③中，$\frac{r}{R}$ = $\frac{3.5}{7}$ = $\frac{1}{2}$，
∴ n₂ = 180°.
∵ n₁ = n₂，
∴ 滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为r cm，高为h cm，根据题意，得2πr = $\frac{180π×5}{180}$，解得r = $\frac{5}{2}$，
∴ h = $\sqrt{5² - (\frac{5}{2})²}$ = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴ 圆锥的体积为$\frac{1}{3}$πr²h = $\frac{1}{3}$π×($\frac{5}{2}$)²×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{125\sqrt{3}}{24}$π(cm³).

5. (2024·贵州中考)综合与实践：小星学习解直角三角形知识后,结合光的折射规律进行了如下综合性学习。
【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上,一束光线从水槽边沿 $A$ 处投射到底部 $B$ 处,入射光线与水槽内壁 $AC$ 的夹角为 $\angle A$；
第二步：向水槽注水,水面上升到 $AC$ 的中点 $E$ 处时,停止注水。(直线 $NN'$ 为法线,$AO$ 为入射光线,$OD$ 为折射光线)
【测量数据】如图,点 $A$、$B$、$C$、$E$、$F$、$O$、$N$、$N'$ 在同一平面内,测得 $AC = 20\ \text{cm}$,$\angle A = 45^{\circ}$,折射角 $\angle DON = 32^{\circ}$。
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据,解答下列问题：
(1)求 $BC$ 的长；
(2)求 $B$、$D$ 之间的距离。(结果精确到 $0.1\ \text{cm}$)
(参考数据：$\sin 32^{\circ} \approx 0.52$,$\cos 32^{\circ} \approx 0.84$,$\tan 32^{\circ} \approx 0.62$)

答案：
(1)在Rt△ABC中，∠A = 45°，
∴ ∠B = 45°，
∴ BC = AC = 20 cm.
(2)由题可知ON = EC = $\frac{1}{2}$AC = 10 cm，
∴ NB = ON = 10 cm.又
∵ ∠DON = 32°，
∴ DN = ON·tan∠DON = 10×tan32°≈10×0.62 = $\text{6.2(cm)}$，
∴ BD = BN - DN = $\text{10 - 6.2 = 3.8(cm)}$.