《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23.(10分)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.
(1)BD与DE相等吗?为什么?
(2)若$\angle BAC = 90^{\circ}$,$DE = 2$,求△ABC外接圆的半径.

答案： （1）BD=DE.理由:
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴$\overgroup{BD}$=$\overgroup{CD}$，
∴∠DBC=∠CAD=∠BAE.
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB.
（2）如图，连接CD，由（1）得$\overgroup{BD}$=$\overgroup{CD}$，
∴CD=BD=DE=2.
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC²=BD²+CD²，即BC²=2²+2²，
∴BC=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC外接圆的半径r=$\sqrt{2}$.

24.(12分)(盐城中考)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分$\angle BAC$交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上,⊙F与y轴相交于另一点G.
(1)求证:BC是⊙F的切线;
(2)若点A、D的坐标分别为A(0,-1)、D(2,0),求⊙F的半径;
(3)试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.

答案： （1）如图，连接EF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE.
∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∴∠FEA=∠EAC，
∴FE//AC，
∴∠FEB=∠C=90°，且FE为⊙F的半径，即BC是⊙F的切线.
（2）如图，连接FD，设⊙F的半径为r，则在Rt△FOD中，r²=(r - 1)²+2²，解得r=$\frac{5}{2}$，即⊙F的半径为$\frac{5}{2}$.
（3）AG=AD+2CD.证明:如图，作FR⊥AD于点R，则∠FRC=90°，又
∵∠FEC=∠C=90°，
∴四边形RCEF是矩形，
∴EF=RC=RD+CD.
∵FR⊥AD，
∴AR=RD，
∴EF=RD+CD=$\frac{1}{2}$AD+CD，
∴AG=2EF=AD+2CD.