《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

15. (14 分)在平面直角坐标系 $ x O y $ 中,已知抛物线 $ y = a x ^ { 2 } - b x + 2 a $ 过点 $ A ( - 2, 0 ) $.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)若 $ 0 \leq x \leq 1 $ 时,$ y $ 的最小值为 $ 4 $,求抛物线的顶点坐标;
(3)若点 $ B ( n - 3, y _ { 1 } ) $、$ C ( n, y _ { 2 } ) $、$ D ( n + 2, y _ { 3 } ) $ 都在该抛物线上,且总有 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 3 } ＜ y _ { 2 } \leq - \frac { a } { 4 } $,求 $ n $ 的取值范围.

答案：
15.
(1)
∵抛物线y=ax²-bx+2a过点A(-2,0),
∴4a+2b+2a=0,
∴b=-3a,
∴y=ax²+3ax+2a,
∴抛物线的对称轴为直线x=-3a/2a=$\frac{-3}{2.}$
(2)①当a＞0时,函数图像开口向上,
∵当0≤x≤1时,y随x的增大而增大,
∴当x=0时,y取得最小值4,
∴抛物线过点(0,4),
∴2a=4,
∴a=2.
②当a＜0时,函数图像开口向下,
∵当0≤x≤1时,y随x的增大而减小,
∴当x=1时,y取得最小值4,
∴抛物线过点(1,4),
∴a+3a+2a=4,
∴a=$\frac{2}{3}$(舍去).综上所述,a=2,
∴y=2x²+6x+4=2(x$\frac{+3}{2}$)²$\frac{-1}{2}$,
∴抛物线的顶点坐标为($\frac{-3}{2}$,$\frac{-1}{2}$).
(3)
∵抛物线y=ax²+3ax+2a,
∴顶点坐标为($\frac{-3}{2}$,-a/4).
∵总有y₁＜y₃＜y₂≤-a/4,
∴抛物线开口向下,且点B始终位于对称轴的左侧,点D始终位于对称轴的右侧.
①当点C在对称轴上或左侧时,如图①,则{n≤$\frac{-3}{2}$,$\frac{-3}{2}$-n＜n+2-($\frac{-3}{2}$),
∴$\frac{-5}{2}$＜n≤$\frac{-3}{2}$;
②当点C在对称轴右侧时,如图②,则{n＞$\frac{-3}{2}$,$\frac{-3}{2}$-(n-3)＞n+2-($\frac{-3}{2}$),
∴$\frac{-3}{2}$＜n＜-1.综上所述,$\frac{-5}{2}$＜n＜-1.

16. (16 分)(2024·苏州期中)已知,如图①,在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - x - 4 $ 的图像与 $ x $ 轴交于 $ A $、$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),顶点为点 $ C $.
(1)点 $ A $ 的坐标为(-2,0),点 $ B $ 的坐标为(4,0),点 $ C $ 的坐标为(1,$\frac{-9}{2}$);
(2)如图②,过点 $ C $ 作 $ C N \perp x $ 轴于点 $ N $,点 $ D $ 是抛物线上位于 $ B $、$ C $ 两点之间的一个动点,过点 $ D $ 作 $ D E \perp x $ 轴于点 $ E $,令 $ O E = t $,连接 $ A D $ 交 $ C N $ 于点 $ M $,请用含 $ t $ 的代数式表示 $ M N $ 的长;
(3)如图③,在(2)的基础上,过点 $ A $ 作 $ A F \perp A B $,交直线 $ D C $ 于点 $ F $,连接 $ E F $、$ B C $,求证:$ E F // B C $.

答案： 16.
(1)(-2,0) (4,0) (1,$\frac{-9}{2}$) 【解析】由y=$\frac{1}{2}$x²-x-4=$\frac{1}{2}$(x-1)²$\frac{-9}{2}$,则C(1,$\frac{-9}{2}$),令y=0,则$\frac{1}{2}$x²-x-4=0,解得x₁=-2,x₂=4.
∵点A在点B的左侧,
∴A(-2,0),B(4,0).
(2)由
(1)得点C(1,$\frac{-9}{2}$),设点D(t,$\frac{1}{2}$t²-t-4),点E(t,0),设直线AD的表达式为y=k₁x+b₁,
∴{-2k₁+b₁=0,k₁t+b₁=$\frac{1}{2}$t²-t-4,解得{k₁=$\frac{1}{2}$(t-4),b₁=t-4,
∴直线AD的表达式为y=$\frac{1}{2}$(t-4)x+t-4.当x=1时,y=$\frac{1}{2}$(t-4)+t-4=$\frac{3}{2}$t-6,则MN=-y=$\frac{-3}{2}$t+6(1＜t＜4).
(3)设点D(t,$\frac{1}{2}$t²-t-4),点E(t,0),设直线BC的表达式为y=k₂x+b₂,
∵{4k₂+b₂=0,k₂+b₂=$\frac{-9}{2}$,解得{k₂=$\frac{3}{2}$,b₂=-6,
∴直线BC的表达式为y=$\frac{3}{2}$x-6,同理可得直线CD的表达式为y=$\frac{1}{2}$(t-1)x$\frac{-1}{2}$t-4,当x=-2时,y=$\frac{1}{2}$(t-1)×(-2)$\frac{-1}{2}$t-4=$\frac{-3}{2}$t-3,即点F(-2,$\frac{-3}{2}$t-3),同理可得直线EF的表达式为y=$\frac{3}{2}$x$\frac{-3}{2}$t.由于直线EF和直线BC的函数表达式中的k值均为$\frac{3}{2}$,
∴EF//BC.