《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

11. (2024·连云港中考)图①是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究:如图②,正八边形游乐城$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}A_{7}A_{8}的边长为\frac{\sqrt{2}}{2}km$,南门$O设立在A_{6}A_{7}$边的正中央,游乐城南侧有一条东西走向的道路$BM$,$A_{6}A_{7}在BM$上(门宽及门与道路间距离忽略不计),东侧有一条南北走向的道路$BC$,$C$处有一座雕塑.在$A_{1}处测得雕塑在北偏东45^{\circ}$方向上,在$A_{2}处测得雕塑在北偏东59^{\circ}$方向上.
(1)$∠CA_{1}A_{2} = $______$^{\circ}$,$∠CA_{2}A_{1} = $______$^{\circ}$;
(2)求点$A_{1}到道路BC$的距离;
(3)若该小组成员小李出南门$O后沿道路MB$向东行走,求她离$B$处不超过多少千米,才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响.(结果精确到$0.1km$,参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41$,$\sin76^{\circ} \approx 0.97$,$\tan76^{\circ} \approx 4.00$,$\sin59^{\circ} \approx 0.86$,$\tan59^{\circ} \approx 1.66$)

答案：
11.
(1)90 76　[解析]
∵正八边形的一个外角的度数为$\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$,
∴∠CA₁A₂=45°+45°=90°,∠CA₂A₁=180° - 45° - 59°=76°.
(2)过点A₁作A₁D⊥BC,垂足为D.在Rt△CA₂A₁中,$A₂A₁=\frac{\sqrt{2}}{2}km$,∠CA₂A₁=76°,
∴$CA₁=A₂A₁\cdot\tan76^{\circ}\approx\frac{\sqrt{2}}{2}×4.0=2\sqrt{2}(km)$.在Rt△CA₁D中,∠CA₁D=90° - 45°=45°,
∴$A₁D=CA₁\cdot\cos45^{\circ}=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2.0(km)$.
答:点A₁到道路BC的距离为2.0km.
(3)如图,连接CA₈并延长交BM于点E,延长A₁A₈交BE于点G,过点A₈作A₈F⊥BC,垂足为F.
∵正八边形的外角均为45°,
　　　　　　　　　　　　　　
∴在Rt△A₇A₈G中,$A₈G=\frac{1}{2}$,
∴$FB=A₈G=\frac{1}{2}$.又
∵A₈F=A₁D=2,CD=2,$DF=A₁A₈=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$CB=\frac{5+\sqrt{2}}{2}$.
∵∠CFA₈=∠B,∠FCA₈=∠BCE,
∴Rt△CA₈F∽Rt△CEB,
∴$\frac{CF}{CB}=\frac{A₈F}{EB}$,即$\frac{2+\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{5+\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{EB}$.
∵$\sqrt{2}\approx1.41$,
∴EB≈2.4km.
答:小李离B处不超过2.4km,才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响.