《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

25. (12分)(2024·泰安中考)如图,抛物线 $ C _ { 1 } : y = a x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 3 } x - 4 $ 的图像经过点 $ D ( 1, - 1 ) $,与x轴交于点A、点B.
(1)求抛物线 $ C _ { 1 } $ 的表达式;
(2)将抛物线 $ C _ { 1 } $ 向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到抛物线 $ C _ { 2 } $,求抛物线 $ C _ { 2 } $ 的表达式,并判断点D是否在抛物线 $ C _ { 2 } $ 上;
(3)在x轴上方的抛物线 $ C _ { 2 } $ 上,是否存在点P,使 $ \triangle P B D $ 是等腰直角三角形.若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)将点D的坐标代入抛物线C₁的表达式y = ax² + $\frac{4}{3}$x - 4得 - 1 = a + $\frac{4}{3}$ - 4，解得a = $\frac{5}{3}$，则抛物线C₁的表达式为y = $\frac{5}{3}$x² + $\frac{4}{3}$x - 4。
(2)由题意得C₂：y = $\frac{5}{3}$(x - 1)² + $\frac{4}{3}$(x - 1) - 4 + 3 = $\frac{5}{3}$(x - $\frac{3}{5}$)² - $\frac{19}{15}$，当x = 1时，y = $\frac{5}{3}$(x - $\frac{3}{5}$)² - $\frac{19}{15}$ = $\frac{5}{3}$(1 - $\frac{3}{5}$)² - $\frac{19}{15}$ = - 1，故点D在抛物线C₂上。
(3)存在，①当∠BDP为直角时，如图①，过点D作DE⊥BD且DE = BD，则△BDE为等腰直角三角形，
∵∠BDG + ∠EDH = 90°∠EDH + ∠DEH = 90°，
∴∠BDG = ∠DEH。
∵∠DGB = ∠EDH = 90°，
∴△DGB≌△EDH(AAS)，由
(1)得B( - 2，0)，则DH = BG = 1，EH = GD = 1 + 2 = 3，
∴点E(2，2)，当x = 2时，y = $\frac{5}{3}$(x - $\frac{3}{5}$)² - $\frac{19}{15}$ = $\frac{5}{3}$(2 - $\frac{3}{5}$)² - $\frac{19}{15}$ = 2，即点E在抛物线C₂上，
∴点P即为点E(2，2)；②当∠DBP为直角时，如图②，同理可得△BGE≌△DHB(AAS)，
∴DH = BG = 3，BH = GE = 1，
∴点E( - 1，3)，当x = - 1时，y = $\frac{5}{3}$(x - $\frac{3}{5}$)² - $\frac{19}{15}$ = $\frac{5}{3}$( - 1 - $\frac{3}{5}$)² - $\frac{19}{15}$ = 3，
∴点E在抛物线C₂上，
∴点P即为点E( - 1，3)；③当∠BPD为直角时，如图③，设点E(x，y)，同理可得△EHB≌△DGE(AAS)，
∴EH = x + 2 = GD = y + 1且BH = y = GE = 1 - x，解得x = 0且y = 1，
∴点E(0，1)，当x = 0时，y = $\frac{5}{3}$(x - $\frac{3}{5}$)² - $\frac{19}{15}$ = $\frac{5}{3}$(0 - $\frac{3}{5}$)² - $\frac{19}{15}$≠1，即点E不在抛物线C₂上。综上，点P的坐标为(2，2)或( - 1，3)。