《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

21.(8分)(泰州中考)如图,在⊙O中,点P为⌢AB的中点,弦AD、PC互相垂直,垂足为M,BC分别与AD、PD相交于点E、N,连接BD、MN.
(1)求证:N为BE的中点;
(2)若⊙O的半径为8,⌢AB的度数为90°,求线段MN的长.

答案： 1. （1）证明：
因为点$P$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{BP}$。
根据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，可得$\angle ADP = \angle BDP$（$\angle ADP$与$\angle BDP$分别是$\overset{\frown}{AP}$与$\overset{\frown}{BP}$所对的圆周角）。
因为$AD\perp PC$，所以$\angle DME = 90^{\circ}$。
在$\triangle BDE$中，$\angle DME = 90^{\circ}$，$\angle ADP=\angle BDP$，$DN = DN$。
由$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理：$\left\{\begin{array}{l}\angle EDN=\angle BDN\\DN = DN\\\angle DNE=\angle DNB = 90^{\circ}\end{array}\right.$，可得$\triangle DNE\cong\triangle DNB$。
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$NE = NB$，即$N$为$BE$的中点。
2. （2）
连接$AB$，$OA$，$OB$。
因为$\odot O$的半径为$8$，$\overset{\frown}{AB}$的度数为$90^{\circ}$，根据弧的度数与圆心角的度数相等，所以$\angle AOB = 90^{\circ}$。
由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（在$\triangle AOB$中，$a = OA$，$b = OB$，$c = AB$），可得$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{8^{2}+8^{2}}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$。
因为$AD\perp PC$，$N$为$BE$的中点（已证），$M$为$AE$上一点（$AD\perp PC$），根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
在$\triangle ABE$中，$MN$是$\triangle ABE$的中位线（因为$N$为$BE$中点，$M$为$AE$中点，$AD\perp PC$，$\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{BP}$，可证$AM = EM$）。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以$MN=\frac{1}{2}AB$。
把$AB = 8\sqrt{2}$代入，可得$MN = 4\sqrt{2}$。
综上，（1）证明过程如上述；（2）$MN$的长为$4\sqrt{2}$。

22.(8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点A、B、D均在圆上.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图.
(1)在图①中,若AB是直径,CD与圆相切,画出圆心O;
(2)在图②中,若CB、CD均与圆相切,画出圆心O.

答案：

(1)如图①所示，延长CB交圆于点E，连接DE，与AB的交点即为圆心O；
(2)如图②所示，连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于点F，射线FG交DA于点H，连接BH交AC于点O.点O即为所求