《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

7. 已知点$P$是半径为4的$\odot O$上一点,平面上一点$Q到点P$的距离为2,则线段$OQ的长度a$的取值范围是____.

答案：
7.$2\leqslant a\leqslant 6$　　[解析]如图,当点Q在圆外且O、Q、P三点共线时，线段OQ的长度最大，最大值为$4+2=6$；当点Q在圆内且O、Q、P三点共线时，线段OQ的长度最小，最小值为$4 - 2=2$，所以线段OQ的长度a的取值范围是$2\leqslant a\leqslant 6$。
　　　　

8. (2024·东莞模拟)学了圆后,小亮突发奇想,想到用这种方法测量三角形的角度:将三角形纸片如图放置,使得顶点$C$在量角器的半圆上,纸片另外两边分别与量角器的半圆交于$A$,$B$两点.点$A$,$B在量角器半圆上对应的读数分别是72^{\circ}$,$14^{\circ}$,这样小明就能得到$\angle C$的度数,请你帮忙算算$\angle C$的度数是____.

答案：
8.$29^{\circ}$　　[解析]如图,设圆心为O，连接OA，OB，则$\angle AOB=72^{\circ}-14^{\circ}=58^{\circ}$，$\therefore \angle C=\frac{1}{2}\angle AOB=29^{\circ}$。
　　　　

9. $\triangle ABC$中,$A(1,5)$、$B(1,1)$、$C(4,1)$,则$\triangle ABC$外接圆圆心的坐标为$(\frac{5}{2},3)$.

答案： 9.$(\frac{5}{2},3)$　　[解析] $\because A(1,5)$、$B(1,1)$、$C(4,1)$，$\therefore AB\perp BC$，$\triangle ABC$的外心是斜边AC的中点，$\therefore$外接圆圆心的坐标为$(\frac{5}{2},3)$。

10. 如图,四边形$ABCD内接于\odot O$,延长$CO交\odot O于点E$,连接$BE$,若$\angle A = 100^{\circ}$,$\angle E = 60^{\circ}$,则$\angle OCD$的大小为50$^{\circ}$.

答案： 10.50　　[解析] $\because EC$是$\odot O$的直径，$\therefore \angle EBC=90^{\circ}$。又$\angle E=60^{\circ}$，$\therefore \angle BCE=90^{\circ}-\angle E=30^{\circ}$。$\because$四边形ABCD内接于$\odot O$，$\angle A=100^{\circ}$，$\therefore \angle BCD=180^{\circ}-\angle A=80^{\circ}$，$\therefore \angle OCD=\angle BCD-\angle BCE=50^{\circ}$。

11. 如图,$\odot O的直径CD$为6 cm,$OA$、$OB都是\odot O$的半径,$\angle AOD = 2\angle AOB = 60^{\circ}$,点$P在直径CD$上移动,则$AP + BP$的最小值为____cm.

答案：
11.$3\sqrt{2}$　　[解析]如图,作点A关于CD的对称点$A'$，连接$A'B$，交CD于点P，连接AP，此时$AP+BP$的值最小，为$A'B$的长。$\because OA=OB=OA'=\frac{1}{2}CD=3cm$，且$\angle AOD=2\angle AOB=60^{\circ}$，$\therefore \angle AOB=\angle BOD=30^{\circ}$。$\because$点A关于CD的对称点为$A'$，$\therefore \angle AOD=\angle A'OD=60^{\circ}$，$\therefore \angle BOA'=\angle BOD+\angle A'OD=90^{\circ}$，$\therefore \triangle BOA'$为等腰直角三角形，$\therefore AP+BP$的最小值为$A'B=\sqrt{OA'^{2}+OB^{2}}=3\sqrt{2}cm$，故答案为$3\sqrt{2}$。
　　　　

12. (金华中考)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,以该三角形的三条边为边向外作正方形,正方形的顶点$E$、$F$、$G$、$H$、$M$、$N$都在同一个圆上.记该圆面积为$S_{1}$,$\triangle ABC的面积为S_{2}$,则$\frac{S_{1}}{S_{2}}$的值是____.

答案：
12.$5\pi$　　[解析]如图，$\because$正方形的顶点E、F、G、H、M、N都在同一个圆上，$\therefore$圆心O在线段EF、MN的垂直平分线的交点上，即在$Rt\triangle ABC$斜边AB的中点上，且$AC=MC$，$BC=CG$，$\therefore AG=AC+CG=AC+BC$，$BM=BC+CM=BC+AC$，$\therefore AG=BM$。又$\because OG=OM$，$OA=OB$，$\therefore \triangle AOG\cong \triangle BOM$，$\therefore \angle CAB=\angle CBA$。$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\therefore \angle CAB=\angle CBA=45^{\circ}$，$\therefore AC=BC$，$OA=OB=OC=\frac{1}{2}AB$，$\therefore OC\perp AB$，$\therefore S_{2}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}AB\cdot \frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}AB^{2}$。$\because OF^{2}=AO^{2}+AF^{2}=(\frac{1}{2}AB)^{2}+AB^{2}=\frac{5}{4}AB^{2}$，$\therefore S_{1}=\pi\cdot OF^{2}=\frac{5}{4}AB^{2}\cdot \pi$，$\therefore \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{5}{4}AB^{2}\cdot \pi}{\frac{1}{4}AB^{2}}=5\pi$。
　　　　

13. (12分)(2024·南京模拟)如图,$AB$、$CD是\odot O$的两条弦,$AC与BD相交于点E$,$AB = CD$.
(1)求证:$AC = BD$;
(2)连接$BC$,作直线$EO$,求证:$EO\perp BC$.

答案：
13.
(1) $\because AB=CD$，$\therefore \overset{\frown }{AB}=\overset{\frown }{CD}$，$\therefore \overset{\frown }{AB}+\overset{\frown }{AD}=\overset{\frown }{CD}+\overset{\frown }{AD}$，即$\overset{\frown }{BD}=\overset{\frown }{AC}$，$\therefore AC=BD$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)连接BC，作直线EO，连接OB、OC,如图，$\because AB=CD$，$\therefore \overset{\frown }{AB}=\overset{\frown }{CD}$，$\therefore \angle ACB=\angle DBC$，$\therefore EB=EC$。$\because OB=OC$，$\therefore$点E、O都在BC的垂直平分线上，$\therefore EO\perp BC$。