《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

23.(8分)实数k使关于x的方程$x^{2}+2kx+k^{2}= x+1有两个实数根x_{1}$、$x_{2}$,若$(3x_{1}-x_{2})(x_{1}-3x_{2})= 19$,求k的值.

答案：
∵实数k使关于x的方程x²+2kx+k²=x+1有两个实数根,
∴(2k−1)²−4(k²−1)≥0,解得$k\leq\frac{5}{4}$.根据根与系数的关系得x₁+x₂=-(2k-1),x₁x₂=k²-1,
∵(3x₁-x₂)(x₁-3x₂)=19,
∴3(x₁²+x₂²)-10x₁x₂-19=0,
∴3[(x₁+x₂)²-2x₁x₂]-10x₁x₂-19=0,即3(x₁+x₂)²-16x₁x₂-19=0,
∴3(2k-1)²-16(k²-1)-19=0,整理得k²+3k=0,解得k₁=0,k₂=-3.
∵$k\leq\frac{5}{4}$,
∴k的值为0或-3.

24.(8分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k= 0$.
(1)求证:无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1}$、$x_{2}$,且k与$\frac {x_{1}}{x_{2}+2}$都为整数,求k所有可能的值.

答案：
(1)
∵b²−4ac=[-(2k+1)]²−4×(k²+k)=1＞0,
∴无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)
∵x²-(2k+1)x+k²+k=0,解得x=k或k+1,
∴一元二次方程x²-(2k+1)x+k²+k=0的两根为k、k+1,
∴$\frac{x_1}{x_2+2}=\frac{k}{k+1+2}=\frac{k}{k+3}=1-\frac{3}{k+3}$或$\frac{x_1}{x_2+2}=\frac{k+1}{k+2}=1-\frac{1}{k+2}$. 若$1-\frac{3}{k+3}$为整数,则k=-6或-4或-2或0;若$1-\frac{1}{k+2}$为整数,则k=-3或-1.
∴整数k的所有可能的值为-6或-4或-2或0或-3或-1.

25.(10分)阅读理解:
如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a、b、c是$Rt△ABC和Rt△BDE$的三边长,易知$AE= \sqrt {2}c$,这时我们把形如$ax^{2}+\sqrt {2}cx+b= 0$的方程称为关于x的“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题:
(1)判断方程$\sqrt {2}x^{2}+\sqrt {10}x+\sqrt {3}= 0$是不是“勾系一元二次方程”?是.(填“是”或“不是”)
(2)写出一个“勾系一元二次方程”:3x²+5$\sqrt{2}$x+4=0(答案不唯一).
(3)求证:关于x的“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt {2}cx+b= 0$必有实数根.
($\sqrt{2}c$)²-4ab=2c²-4ab,
∵a²+b²=c²,
∴2c²-4ab=2(a²+b²)-4ab=2(a-b)²≥0,
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0必有实数根.

答案：
(1)是；
(2)3x²+5$\sqrt{2}$x+4=0(答案不唯一)；
(3)($\sqrt{2}c$)²-4ab=2c²-4ab,
∵a²+b²=c²,
∴2c²-4ab=2(a²+b²)-4ab=2(a-b)²≥0,
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0必有实数根.