《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

6. (2024·广西中考)综合与实践。
在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略。
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干。重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标。
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 $0.2\%$,每次拧干后校服上都残留 $0.5\ \text{kg}$ 水。
浓度关系式：$d_{\text{后}} = \frac{0.5d_{\text{前}}}{0.5 + w}$。其中 $d_{\text{前}}$、$d_{\text{后}}$ 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；$w$ 为单次漂洗所加清水量(单位：$\text{kg}$)。
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 $0.01\%$。
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为 $0.01\%$,需要多少清水？
(2)如果把 $4\ \text{kg}$ 清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标？
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法。

答案：
(1)把d后 = 0.01%，d前 = 0.2%代入d后 = $\frac{0.5d前}{0.5 + w}$，得0.01% = $\frac{0.5×0.2\%}{0.5 + w}$，解得w = 9.5.经检验符合题意，
∴ 只经过一次漂洗، 使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5 kg清水.
(2)第一次漂洗：把w = 2 kg，d前 = 0.2%代入d后 = $\frac{0.5d前}{0.5 + w}$，
∴ d后 = $\frac{0.5×0.2\%}{0.5 + 2}$ = 0.04%，第二次漂洗：把w = 2 kg，d前 = 0.04%代入d后 = $\frac{0.5d前}{0.5 + w}$，
∴ d后 = $\frac{0.5×0.04\%}{0.5 + 2}$ = 0.008%，而0.008% ＜ 0.01%，
∴ 进行两次漂洗，能达到洗衣目标.
(3)由
(1)
(2)的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴ 从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习.(答案不唯一，合理即可)

7. (2024·无锡中考)【操作观察】
如图,在四边形纸片 $ABCD$ 中,$AD // BC$,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$BC = 8$,$AB = 12$,$AD = 13$。
折叠四边形纸片 $ABCD$,使得点 $C$ 的对应点 $C'$ 始终落在 $AD$ 上,点 $B$ 的对应点为 $B'$,折痕与 $AB$、$CD$ 分别交于点 $M$、$N$。
【解决问题】
(1)当点 $C'$ 与点 $A$ 重合时,求 $B'M$ 的长；
(2)设直线 $B'C'$ 与直线 $AB$ 相交于点 $F$,当 $\angle AFC' = \angle ADC$ 时,求 $AC'$ 的长。

答案：

(1)如图①，过点C作CH⊥AD，则CH = AB = 12，AH = BC = 8，
∴ HD = AD - AH = 13 - 8 = 5，
∴ CD = $\sqrt{CH² + HD²}$ = $\sqrt{12² + 5²}$ = 13，tan∠ADC = $\frac{CH}{HD}$ = $\frac{12}{5}$.当点C'与点A重合时，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，N与D重合，则有AM = MC، 设B'M = MB = x，则AM = MC = 12 - x，
∵ ∠ABC = 90°，
∴ 在Rt△MBC中，x² + 8² = (12 - x)²，解得x = $\frac{10}{3}$，故B'M = MB = $\frac{10}{3}$.
　　　　　
(2)如图②，当点F在AB上时，由
(1)可知tan∠ADC = $\frac{CH}{HD}$ = $\frac{12}{5}$.
∵ ∠AFC' = ∠ADC，
∴ tan∠AFC' = $\frac{12}{5}$，设AF = 5x，AC' = 12x，则C'F = 13x，根据折叠的性质可得出B'C' = BC = 8，B'F = 8 - 13x.
∵ ∠B'FM = ∠AFC'，
∴ tan∠B'FM = tan∠AFC' = $\frac{12}{5}$.
∵ ∠MB'C' = 90°，
∴ 在Rt△B'FM中，FM = $\frac{13}{5}$(8 - 13x)，B'M = MB = $\frac{12}{5}$(8 - 13x)，则5x + $\frac{12}{5}$(8 - 13x) + $\frac{13}{5}$(8 - 13x) = 12，解得x = $\frac{7}{15}$，AC' = 12x = $\frac{28}{5}$.如图③，当点F在BA的延长线上时，同上tan∠AFC' = $\frac{12}{5}$，在Rt△AFC'中，设AF = 5x，AC' = 12x，FC' = 13x，FB' = 13x - 8，在Rt△MFB'中，FM = $\frac{13}{5}$(13x - 8)，B'M = MB = $\frac{12}{5}$(13x - 8)，则FB = 5x + 12 = $\frac{12}{5}$(13x - 8) + $\frac{13}{5}$(13x - 8)，解得x = $\frac{13}{15}$，则AC' = 12x = 12×$\frac{13}{15}$ = $\frac{52}{5}$.综上，AC'的长为$\frac{28}{5}$或$\frac{52}{5}$.